正态分布(公开课)

2.4正态分布定远县第二中学杨杰高尔顿板模型11频率组距以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图”。随着重复次数的增加，直方图的形状会越来越像一条“钟形”曲线。正态分布密度曲线（简称正态曲线）0YX式中的实数m、s是参数22()2,1()2xxemsmss),(x“钟形”曲线函数解析式为：表示总体的平均数与标准差若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率（阴影部分的面积）为:badxxbXaP)()(,sm0ab思考：你能否求出小球落在（a,b]上的概率吗？则称X的分布为正态分布.正态分布由参数m、s唯一确定,m、s分别表示总体的平均数与标准差.正态分布记作N（m，s2）.其图象称为正态曲线.1.正态分布定义xy0ab,()()baPaXbxdxms如果对于任何实数ab,随机变量X满足:如果随机变量X服从正态分布，则记作：X~N(m,s2)。（E(X)=mD(X)=s）在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征；……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。2.正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xxexmsmss012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.2.正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1。（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π22()21(),(,)2xxexmsmssx=mx=mx=m（5）s一定、μ变化的正态分布图示m3m1m2σ=0.5μ=-1μ=0μ=1（6）μ一定、s变化的正态分布图示ms=0.5s=1s=2μ=0σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.正态曲线下的面积规律（重要）•X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。•对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)X=m概率正态曲线下的面积规律（重要）•对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)X=m概率3.特殊区间的概率:m-am+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率2(,)ms,()()≤aaPaxaxdxmmsmmm()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms特别地有（熟记）我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。smsm2,2smsm3,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms当3as时正态总体的X取值几乎总取值于区间(3,3)msms之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3s原则.4.应用举例例1：若X~N(5,1),求P(6X7).例2：在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,100).（1）试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？1、若X~N（μ，σ2），问X位于区域（μ，μ＋σ）内的概率是多少？解：由正态曲线的对称性可得，1()()0.34132PxPxmmsmsms练一练：2、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.0228(,2)3、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.(0)PX(22)PXD0.50.95444、若已知正态总体落在区间的概率为0.5，则相应的正态曲线在x=时达到最高点。(0.3,)0.35、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是。1练一练：归纳小结1.正态曲线及其特点；2.正态分布及概率计算；3.3s原则。