数列

海量资源尽在星星文库：（西城·理·题3）（西城·文·题3）设等差数列{}na的前n项和为nS，246aa，则5S等于（）A．10B．12C．15D．30【解析】C；24362aaa，于是33a，53515Sa．2.（海淀·文·题4）已知等差数列{}na的前n项和为nS，且满足32132SS，则数列{}na的公差是（）A．12B．1C．2D．3【解析】C；3123133Saaaad，21212Saaad；∴32113222SSddada，因此2d．3.（宣武·理·题5）（宣武·文·题5）若{}na为等差数列，nS是其前n项和，且1122π3S，则6tana的值为（）A．3B．3C．3D．33【解析】B；由1112105762aaaaaaa，可得11611Sa，∴62π3a．4.（海淀·理·题6）已知等差数列1,,ab，等比数列3,2,5ab，则该等差数列的公差为（）A．3或3B．3或1C．3D．3【解析】C；221235050abababb，解得47ab．因此该等差数列的公差为3．5.（东城·理·题7）已知数列{}na的通项公式3log()1nnann*N，设其前n项和为nS，则使4nS成立的最小自然数n等于（）A．83B．82C．81D．80【解析】C；3333333log1log2log2log3loglog(1)log(1)4nSnnn，解得43180n．海量资源尽在星星文库：（丰台·理·题8）已知整数以按如下规律排成一列：1,1、1,2、2,1、1,3、2,2，3,1，1,4，2,3，3,2，4,1，……，则第60个数对是（）A．10,1B．2,10C．5,7D．7,5【解析】C；O123456654321根据题中规律，有1,1为第1项，1,2为第2项，1,3为第4项，…，1,11为第56项，因此第60项为5,7．7.（海淀·理·题8）已知数列1212:,,,0,3nnAaaaaaan≤≥具有性质P：对任意,1ijijn≤≤≤，jiaa与jiaa两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P；②数列0,2,4,6具有性质P；③若数列A具有性质P，则10a；④若数列123123,,0aaaaaa≤具有性质P，则1322aaa．其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】B；①∵134，132都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P；②容易验证数列0,2,4,6具有性质P；③取ijn，则0jiaa在数列中，而数列中最小的数10a≥，因此10a；④由对②的分析可知，10a．由于210aa，32aa3a不在数列中，因此32aa必然在数列中．又32aa，故320aa1a，于是322aaa，等式1322aaa成立．8.（丰台·文·题10）设等比数列{}na的公比为12q，前n项和为nS，则44Sa．【解析】15；23231433411115aqqqSqqqaaqq．9.（东城·文·题11）海量资源尽在星星文库：设{}na是等比数列，若141,8aa，则q，数列{}na的前6项的和6S．【解析】2,63；3412aaqq；661(12)6312S．10.（石景山·文·题12）等差数列{}na中，35a，61a，此数列的通项公式为，设nS是数列{}na的前n项和，则8S等于．【解析】211nan，16；设公差为d，633aad即1532dd，1329aad，12(1)211naann，88911816S．11.（石景山·文·题14）（石景山·理·题14）在数列na中，若221nnaap，（2,nnN≥，p为常数），则称na为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若na是等方差数列，则2na是等差数列；②(1)n是等方差数列；③若na是等方差数列，则kna（kN，k为常数）也是等方差数列；④若na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】①②③④；由定义可知，2na是公差为p的等差数列，①正确；221110(2,*)nnnnN≥为常数，故1n是等方差数列，②正确；若221(2,*)nnaapnnN≥，则22222222(1)1121(1)knknknknknknknkknaaaaaaaakp为常数，③对；设{}na公差为d，则221111()()()nnnnnnnnpaaaaaadaa，结合1()nnpdaa，两式相减可得2110()20nndaadd，故{}na是常数列，④对．12.（石景山·文·题18）在数列{}na中，13a，122nnaan(2n≥且*)nN．⑴求2a，3a的值；⑵证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；海量资源尽在星星文库：⑶求数列{}na的前n项和nS．【解析】⑴∵13a，122nnaan(2n≥且*)nN，∴212226aa，3223213aa．⑵∵11111(22)2222(1)11nnnnnnanannanananan，∴数列{}nan是首项为114a，公比为2的等比数列．∴11422nnnan，即12nnan，∴{}na的通项公式为12nnan*()nN．⑶∵{}na的通项公式为12nnan*()nN，∴2341(2222)(123)nnSn2222(12)(1)821222nnnnnn*()nN．13.（石景山·理·题18）在数列{}na中，13a，121nnaan(2n≥且*)nN．⑴求2a，3a的值；⑵证明：数列{}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；⑶求数列{}na的前n项和nS．【解析】⑴∵13a，121nnaan*(2,)nnN≥，∴21416aa，32611aa．⑵证明：∵11111(21)11(1)11nnnnnnanannanananan，∴数列{}nan是首项为114a，公比为1的等比数列．∴14(1)nnan，即14(1)nnan，∴{}na的通项公式为14(1)nnan*()nN．⑶∵{}na的通项公式为14(1)nnan*()nN，所以，111111[4(1)][4(1)]nnnnkknkkkkkSakk21(1)(1)1421(1)()1(1)22nnnnnn242(1)2nnn．14.（西城·文·题19）设数列{}na为等比数列，数列{}nb满足121(1)2nnnbnanaaa，nN，已知1bm，海量资源尽在星星文库：，其中0m．⑴求数列{}na的首项和公比；⑵当1m时，求nb；⑶设nS为数列{}na的前n项和，若对于任意的正整数n，都有[1,3]nS，求实数m的取值范围．【解析】⑴由已知11ba，所以1am；2122baa，所以12322aam，解得22ma；所以数列{}na的公比12q；⑵当1m时，112nna，121(1)2nnnbnanaaa，………………………①，2311(1)22nnnbnanaaa，……………………②，②－①得23132nnnbnaaaa，所以111223111123212nnnbnn，1222162(2)39929nnnnnb．⑶1[1]212113212nnnmmS，因为1102n，所以由[1,3]nS得1233111122nnm≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n；当n为偶数时，131,124n，所以112n最大值为32，最小值为34．海量资源尽在星星文库：≤≤，所以42233m≤≤，解得23m≤≤，即所求实数m的取值范围是{|23}mm≤≤．15.（丰台·文·题20）设集合W由满足下列两个条件的数列{}na构成：①21;2nnnaaa②存在实数M，使naM≤．（n为正整数）⑴在只有5项的有限数列{}na，{}nb中，其中11a，22a，33a，44a，55a，11b，24b，35b，44b，51b；试判断数列{}na，{}nb是否为集合W的元素；⑵设{}nc是等差数列，nS是其前n项和，34c，18nS证明数列{}nSW；并写出M的取值范围；⑶设数列{}ndW，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使kdM．求证：123kkkddd．【解析】⑴对于数列{}na，当1n时，13222aaa，显然不满足集合W的条件①，故{}na不是集合W中的元素，对于数列{}nb，当1,2,3,4,5n时，不仅有13232bbb，24342bbb，33432bbb，而且有5nb≤，显然满足集合W的条件①②，故{}nb是集合W中的元素．⑵∵nc是等差数列，nS是其前n项和，34c，318S．设其公差为d，∴333218cdcdc．∴2d∴33210nccndn，29nSnn∵21102nnnSSS，∴212nnnSSS．∵298124nSn，∴nS的最大值是4520SS，即420nSS≤．∴nSW，且M的取值范围是20,．⑶证明：∵{}ndW，∴212kkkddd．整理21111()()kkkkkkddddddM，∵kdM，∴1kdM≤，∴21kkdd．海量资源尽在星星文库：又∵1322kkkddd，∴32212()kkkkkddddd，∴123kkkddd．16.（丰台·理·题20）设集合W由满足下列两个条件的数列{}na构成：①212nnnaaa；②存在实数M，使naM≤．（n为正整数）⑴在只有5项的有限数列{}na，{}nb中，其中123451,2,3,4,5aaaaa；123451,4,5,4,1bbbbb；试判断数列{},{}nnab是否为集合W的元素；⑵设{}nc是各项为正的等比数列，nS是其前n项和，314c，374S，证明数列{}nSW；并写出M的取值范围；⑶设数