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§1.4全称量词与存在量词课时目标1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x20B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x201D．∀x，y∈R，x2＋y204．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x200C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x025．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sinx0≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x0∈R，sinx01D．綈p：∀x∈R，sinx16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011D．以上都不对题号123456答案二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋30；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0.(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.(4)∃x0∈R，使x20＋10.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．§1.4全称量词与存在量词答案知识梳理1．(1)对所有的对任意一个∀(2)全称量词(3)∀x∈M，p(x)2．(1)存在一个至少有一个∃(2)存在量词(3)∃x0∈M，p(x0)3．(1)∃x0∈M，綈p(x0)(2)∀x∈M，綈p(x)4．结论结论条件作业设计1．C[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D[“存在”是存在量词．]3．B[A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]4．B5．C[全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]6．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]7．∃x00，使(1＋x0)(1－9x0)08．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根9．①②③10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵ax0(a0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋10，∴命题(4)是假命题．11．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．12．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a20，即a13或a－1.乙命题为真时，2a2－a1，即a1或a－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a－12或a13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13a≤1，甲假乙真时，－1≤a－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|13a≤1或－1≤a－12}．