人教a版数学选修11作业313导数的几何意义含答案

3.1.3导数的几何意义课时目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)0B．f′(2)＝0C．f′(2)0D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0B．h′(a)0C．h′(a)0D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)C．0f′(3)f′(2)f(3)－f(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)题号123456答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标．(1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5；(2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝0limxfx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3导数的几何意义答案知识梳理1．f(x)在x＝x0处的瞬时变化率函数f(x)在x＝x0附近的变化情况3．导函数导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx作业设计1．D[∵y＝2x3，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δx3－2x3Δx＝limΔx→02Δx3＋6xΔx2＋6x2ΔxΔx＝limΔx→0[2(Δx)2＋6xΔx＋6x2]＝6x2.∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C[由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k＝f′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝130.]3．C[f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．]4．B[2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义知，h′(a)＝－20.]5．B[曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，切线与x轴平行或重合．]6．B[根据导数的几何意义，在x∈[2,3]时，曲线上x＝2处切线斜率最大，k＝f3－f23－2＝f(3)－f(2)f′(3)．]7．－1解析由偶函数的图象和性质可知应为－1.8．2x－y＋4＝0解析由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx2＋2Δx，∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝2.∴所求直线的斜率k＝2.则直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.9．2解析∵点P在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f′(5)＝k＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.10．解设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x20.因y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x.∴k＝y′|x＝x0＝2x0.因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x20＝2x0－2x20，∴x20－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1)＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x20＋2ax0－9.∴f′(x0)＝3x0＋a32－9－a23.当x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a23＝－12.解得a＝±3.又a0，∴a＝－3.12．解f′(x)＝limΔx→0ax＋Δx2＋bx＋Δx－7－ax2－bx＋7Δx＝limΔx→0(a·Δx＋2ax＋b)＝2ax＋b.由已知可得a＋b－7＝12a＋b＝4，解得a＝－4，b＝12.13．解f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)为所求的点，(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－12，即y0＝14，即P－12，14.