人教a版数学选修11作业第三章导数及其应用章末检测a含答案

第三章章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是()A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()A．(－∞，－1)及(0,1)B．(－1,0)及(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．54．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为()A．a13B．a≥13C．a13且a≠0D．a≤13且a≠05．函数y＝x2－4x＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是()A．f(5)，f(0)B．f(2)，f(0)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(2)6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()A．－log20102009B．－1C．(log20102009)－1D．17．方程－x3＋x2＋x－2＝0的根的分布情况是()A．一个根，在（－∞，－13）内B．两个根，分别在（－∞，－13）、(0，＋∞)内C．三个根，分别在（－∞，－13）、（－13，0）、(1，＋∞)内D．三个根，分别在（－∞，－13）、(0,1)、(1，＋∞)内8．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为()A.827πB.1627πC.89πD.169π10.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()11．函数f(x)＝lnx－x2的极值情况为()A．无极值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．14．f′(x)是f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是________．15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________________________________________________________________________．16．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)当x∈（0，π2）时，证明：tanxx.18．(12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19.(12分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．20．(12分)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．第三章导数及其应用(A)答案1．B[∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．]2．A[y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]3．D[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]4．C[f′(x)＝3ax2－2x＋1，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于f′(x)＝0有两个不等实根，即3a≠0，Δ＝4－12a0.解得a13且a≠0.]5．D[y′＝2(x－2)．x＝2时，y′＝0；x2时，y′0；x2时，y′0.∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3；又f(0)＝1，f(5)＝6，故f(5)是最大值，f(2)是最小值．]6．B[∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010(12·23·…·20092010)＝log201012010＝－1.]7．A[令f(x)＝－x3＋x2＋x－2，则f′(x)＝－3x2＋2x＋1，令－3x2＋2x＋1＝0，得x＝1，或x＝－13，故函数f(x)在x＝1和x＝－13处分别取得极大值f(1)＝－1和极小值f－13＝－5927，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在－∞，－13内．]8．A9．A[设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2R＋h＝2.∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR(2－3R)＝0.令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝23.经检验知，R＝23时，圆柱体积最大，此时h＝23，Vmax＝π·49×23＝827π.]10．A[∵(－∞，－2)时，f′(x)0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]11．C[因为f(x)＝lnx－x2，所以f′(x)＝1x－2x，令f′(x)＝0得x＝22(x＝－22舍去)．当0x22时，f′(x)0，函数单调递增；当x22时，f′(x)0，函数单调递减．所以函数f(x)＝lnx－x2在x＝22处取得极大值，无极小值．]12．B[y2＝ax的焦点坐标为a4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2x－a4，令x＝0得y＝－a2.∴12×|a|4×|a|2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]13．a≥3解析由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.14．3解析∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.15．(－2,15)解析设P(x0，y0)(x00)，由题意知：y′|x＝x0＝3x20－10＝2，∴x20＝4.又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．16．21解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴－2＋4＝－2a3－2×4＝b3⇒a＝－b＝－24.∴a－b＝－3＋24＝21.17．证明构造函数f(x)＝tanx－x，判断f(x)在0，π2上的单调性．设f(x)＝tanx－x，x∈0，π2.∴f′(x)＝sinxcosx′－1＝cos2x＋sin2xcos2x－1＝1cos2x－1＝1－cos2xcos2x＝tan2x0.∴f(x)在0，π2上为增函数．又∵f(x)＝tanx－x在x＝0处可导且f(0)＝0，∴当x∈0，π2时，f(x)f(0)恒成立，即tanx－x0.∴tanxx.18．解因为DCAM＝NDAN，且AM＝30，AN＝20.所以ND＝ABAM·AN＝2x3，得AD＝AN－ND＝20－2x3.仓库的库容V(x)＝(20－2x3)·x·x＝－2x33＋20x2(0x30)，令V′(x)＝－2x2＋40x＝－2x(x－20)＝0，得x＝20或x＝0(舍去)．当x∈(0,20)时，V′(x)0；当x∈(20,30)时，V′(x)0.所以当x＝20时，V(x)有极大值也是最大值．即AB的长度为20米时仓库的库容最大．19．解(1)因为f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线上点B(b，b2＋b－2)，因为f′(b)＝2b＋1，所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.又l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以直线l2的方程为y＝－13x－229.即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组y＝3x－y＝－13x－229，可得x＝16y＝－52.因为直线l1、l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)、－223，0，所以所求三角形的面积为S＝12×－52×1＋223＝12512.20．解由V＝πr2h，得h＝Vπr2.设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋4aVr，M′＝10aπr－4aVr2，令M′＝0，解得r＝32V5π，∴经验证，当r＝32V5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h＝Vπr2＝325V4π.∴当rh＝32V5π325V4π＝25时，储油罐的造价最省．21．解f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得f′2＝12a－b＝f2＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13b＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如右图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43k283.22．解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，12)f′(x)＋0－f(x)极大值当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f－120f120即5－a80，5＋a80.解不等式组得－5a5.因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x