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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0≤a1B.0a1C.-1a1D.0a【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,又因为x∈(0,1),所以0a1.【补偿训练】函数f(x)=ex-x在区间上的最大值是()A.1+B.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.当x∈时,f′(x)≤0;当x∈时,f′(x)≥0.所以f(x)在上递减,在上递增.又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e0,所以f(-1)f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上()A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】选A.因为f(x)=2x-cosx,所以f′(x)=2+sinx0恒成立,所以在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.4.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为()A.2B.3C.D.2+【解析】选B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)0;x∈(1,5]时,f′(x)0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x(x∈)的值域为________.【解析】f′(x)=-+1=,所以在上f′(x)0恒成立,即f(x)在上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.答案:7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.【解析】因为f′(x)=3x2-3,所以当x1或x-1时,f′(x)0;当-1x1时,f′(x)0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)f(3),所以f(x)max=f(3)=18-a=m,所以m-n=18-a-(-2-a)=20.答案:208.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为________.【解析】因为x∈,所以f′(x)=excosx≥0,所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值.【解析】f′(x)=+=.由f′(x)=0,得x=1.所以在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x1(1,2)2f′(x)-0+f(x)1-ln2单调极小值0单调递增↗-+ln2递减↘因为f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e316,所以ff(2)0.所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在(t0)上的最小值.【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)0,f(x)单调递增.由于t0,所以t+2.①当0tt+2时,即0t时,则在x∈上,f(x)递减;在x∈上,f(x)递增,f(x)min=f=-.②当≤tt+2,即t≥时,f(x)在上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.综上所述,当0t时,f(x)min=-;当t≥时,f(x)min=tlnt.10.(2015·广州高二检测)已知函数f(x)=2ax-x2-3lnx,其中a∈R,为常数.(1)若f(x)在x∈上的最大值.【解析】f′(x)=2a-3x-=.(1)由题意知f′(x)≤0对x∈时f′(x)≥0,原函数递增,x∈时,f′(x)≤0,原函数递减;所以最大值为f(3)=-3ln3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在上的最大值为,则a等于()A.-B.C.-D.-或-【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1a2时,f(x)在上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=,解得a=-或a=-(舍去).2.已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)0,所以u(x)在上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南京高二检测)函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为________.【解析】f′(x)=-1=,令f′(x)0得0x1,令f′(x)0得x0(舍)或x1,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.答案:-14.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)=+2lnx,若当a0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围.【解析】由f(x)=+2lnx,得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0x时,f′(x)0;当x时,f′(x)0,故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.答案:上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f′(x)=6x2-12x+6,所以f′(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间上的最小值.f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af′(x)+0-0+f(x)0单调递增↗极大值3a-1单调递减↘极小值a2(3-a)单调递增↗4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)=当a-1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,1)1(1,-2a)-2af′(x)-0+f(x)0单调递减↘极小值3a-1单调递增↗-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为g(a)=关闭Word文档返回原板块