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第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础巩固一、选择题1．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个)．答案：D2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有()A．7种B．12种C．64种D．81种解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．答案：B3．如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有()A．8条B．6条C．5条D．3条解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条)．答案：B4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A．18B．17C．16D．10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有3×3＝9(个)；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有9＋8＝17(个)．答案：B5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个B．42个C．36个D．35个解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．答案：C二、填空题6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．答案：1207．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．答案：88．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．答案：712三、解答题9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；……x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？操场窗舍区餐厅教学区解：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，着色方案共有6×5×4×4＝480(种)．B级能力提升1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．答案：C2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．答案：653．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．解：按出场位置顺序逐一安排：第一位置有3种安排方法；第二位置有7种安排方法；第三位置有2种安排方法；第四位置有6种安排方法；第五位置有1种安排方法．由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．