人教版高中数学选修23练习第一章13132杨辉三角与二项式系数的性质Word版含解

第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.答案：C2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于()A．5B．3C．4D．7解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，解得n＝4.答案：C3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A．第6项B．第5项C．第5、第6项D．第6、第7项解析：因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．答案：A4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝12×26＝32.答案：B5．设5x－1xn的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()A．－150B．150C．300D．－300解析：令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝Cr4(5x)4－r－1xr＝(－1)r54－rCr4x4－32r，令4－32r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C24·52＝150.答案：B二、填空题6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．解析：C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C710a3(a)7＝120a132.答案：120a1327．(1＋x)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C24(x)2＝6x.答案：6x8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．13356571111791822189…解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，an＝2n－1.答案：2n－1三、解答题9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26，解得n＝8.所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1120x4.设第(k＋1)项系数最大，则有Ck82k≥Ck－182k－1，Ck82k≥Ck＋182k＋1，解得5≤k≤6.又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.所以系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.B级能力提升1．若9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数解析：9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1＝19(9n＋1＋C1n＋1·9n＋…＋Cn－1n＋1·92＋Cnn＋1＋Cn＋1n＋1)－19＝19(9＋1)n＋1－19＝19(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________．解析：具体证明过程可以是：C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝12(2C02n－1＋2C12n－1＋2C22n－1＋…＋2Cn－12n－1)＝12(C02n－1＋C2n－12n－1)＋(C12n－1＋C2n－22n－1)＋(C22n－1＋C2n－32n－1)＋…＋(Cn－12n－1＋Cn2n－1)]＝12(C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＋Cn2n－1＋…＋C2n－12n－1)＝12·22n－1＝4n－1.答案：4n－13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于165x2＋1x5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．解：由165x2＋1x5得Tr＋1＝Cr516x255－r1xr＝1655－rCr5x20－5r2，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C45·165＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54.解得a＝±3.