人教版高中数学选修23练习第二章23232离散型随机变量的方差Word版含解析

第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差A级基础巩固一、选择题1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7B．1.7和0.09C．0.3和0.7D．1.7和0.21解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.答案：D2．已知X的分布列为：X－101P0.50.30.2则D(X)等于()A．0.7B．0.61C．－0.3D．0解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.答案：B3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A.甲B．乙C．一样D．无法比较解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．答案：B4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.答案：B5．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝()ξ01xP15p310A.0.36B．0.52C．0.49D．0.68解析：先由随机变量分布列的性质求得p＝12.由E(ξ)＝0×15＋1×12＋310x＝1.1，得x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.答案：C二、填空题6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.57．已知X的分布列为：X－101P121316若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．解析：E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D(X)＝59，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝209.答案：2098．随机变量X的分布列如下表：X012Pxyz其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝13，则D(X)的值是________．解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝13，又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝23，y＝13，z＝0，所以D(X)＝0－132×23＋1－132×13＋2－132×0＝29.答案：29三、解答题9．已知随机变量X的分布列为：X01xP1213p若E(X)＝23.(1)求D(X)的值；(2)若Y＝3X－2，求D（Y）的值．解：由12＋13＋p＝1，得p＝16.又E(X)＝0×12＋1×13＋16x＝23，所以x＝2.(1)D(X)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1527＝59.(2)因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)．所以D（Y）＝9D（X）＝3D（X）＝5.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)(保留3位有效数字)．解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列为：ξ1234P0.70.210.0630.027E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.B级能力提升1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53B.73C．3D.113解析：X1，X2满足23X1＋13X2＝43，X1－432×23＋X2－432×13＝29，解得X1＝1，X2＝2或X1＝53，X2＝23.因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.答案：C2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布Bn，12，若P(ξ＝1)＝332，则方差D(ξ)＝________．解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布Bn，12，且P(ξ＝1)＝332，所以C1n·12n－1·1－12＝332，即n12n＝664，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6×12×1－12＝32.答案：323．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2×13×13＝29；“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(ξ＝4)＝13×13＝19.则ξ的分布列为：ξ0124P59192919(2)E(ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D(ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.