人教版高中数学选修23练习第二章24正态分布Word版含解析

第二章随机变量及其分布2.4正态分布A级基础巩固一、选择题1．设随机变量X～N(1，22)，则D12X＝()A．4B．2C.12D．1解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.所以D12X＝14D(X)＝1.答案：D2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.答案：A3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）2＝0.9544－0.68262＝0.1359＝13.59%.答案：B4．若随机变量X的密度函数为f(x)＝12π·e－x22，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2则p1，p2的关系为()A．p1＞p2B．p1＜p2C．p1＝p2D．不确定解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.答案：C5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()A．0.9973B．0.6826C．0.8413D．0.8159解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，答案应选B.答案：B二、填空题6．设X～N0，14，则P(－1＜X＜1)的值为________．解析：由题意可知，μ＝0，σ＝12，故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.9544.答案：0.95447．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.答案：18．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．解析：因为P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3(个)．答案：3三、解答题9．设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6826.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，所以P(3＜X≤5)＝12P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝12P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359.10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：(1)ξ在(0，2]内取值的概率；(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ0)，正态分布图象的对称轴为x＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.(2)又因正态分布图象的对称轴为x＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.B级能力提升1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于()A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φ1－μσD．2Φ(μ＋σ)解析：设η＝|ξ－μ|σ，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案：B2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.9544，P(X＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228，故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．答案：2293．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．解：因为X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20.P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6826.所以X＞130的概率为12×(1－0.6826)＝0.1587.所以X≥90的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.所以及格的人数为54×0.8413≈45(人)，130分以上的人数为54×0.1587＝9(人)．