人教版高中数学选修44练习第一讲三简单曲线的极坐标方程Word版含解析

第一讲坐标系三、简单曲线的极坐标方程A级基础巩固一、选择题1．极坐标方程ρcosθ＝－6表示()A．过点(6，π)垂直于极轴的直线B．过点(6，0)垂直于极轴的直线C．圆心为(3，π)，半径为3的圆D．圆心为(3，0)，半径为3的圆解析：将ρcosθ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．答案：A2．圆ρ＝2(cosθ＋sinθ)的圆心的极坐标是()A.1，π4B.12，π4C.2，π4D.2，π4解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－2x－2y＝0，圆心的直角坐标是22，22，化为极坐标是1，π4.答案：A3．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρ＝4sinθ＋π3D．ρ＝4sinθ－π3解析：将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcosθ＝2.答案：A4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝－1cosθD．ρ＝1cosθ解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－1cosθ.经检验，(1，π)也适合上述方程．答案：C5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()[来源:学&科&网]A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2.答案：B二、填空题6．直线33x－y＝0的极坐标方程为__________________．解析：直线方程33x－y＝0变为极坐标方程为33ρcosθ－ρsinθ＝0，即33cosθ－sinθ＝0，故tanθ＝33，故θ＝π6或θ＝76π，所以直线33x－y＝0的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6.答案：θ＝π6或7π6[来源:Zxxk.Com]7．圆心为C3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为___________．解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为332，32.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为x－3322＋y－322＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cosθ－π6.答案：ρ＝6cosθ－π6[来源:学#科#网]8．已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________．解析：将直线l的极坐标方程2ρsinθ－π4＝2化为直角坐标方程为x－y＋1＝0.由A22，7π4得A点的直角坐标为(2，－2)，从而点A到直线l的距离d＝|2＋2＋1|12＋（－1）2＝522.答案：522三、解答题9．在极坐标系中，已知点P为圆ρ2＋2ρsinθ－7＝0上任意一点．求点P到直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的距离的最小值与最大值．解：圆ρ2＋2ρsinθ－7＝0的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－7＝0，即x2＋(y＋1)2＝8，[来源:学*科*网Z*X*X*K]直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的直角坐标方程为x＋y－7＝0.根据题意可设点P(22cosα，22sinα－1)，则点P到直线x＋y－7＝0的距离d＝|22cosα＋22sinα－8|2＝4sinα＋π4－82，当sinα＋π4＝1时，dmin＝42＝22；当sinα＋π4＝－1时，dmax＝122＝62.10．已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ.(1)求两个圆的圆心距；(2)求经过两圆的交点的直线的极坐标方程．解：两个圆的直角坐标方程分别是x2＋y2－x＝0，x2＋y2－y＝0.[来源:学科网ZXXK](1)两个圆的圆心坐标分别是12，0，0，12，所以两圆的圆心距是22.(2)易得经过两圆的交点的直线的直角坐标方程是x－y＝0，故它的极坐标方程是θ＝π4(ρ∈R)．B级能力提升1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4解析：因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝1cosθ＋sinθ.因为0≤x≤1，0≤y≤1，所以线段在第一象限内(含端点)，所以0≤θ≤π2.答案：A2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为______________．解析：因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，所以x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.答案：x2＋y2－2y＝03．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，求曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标．解：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，曲线ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1，联立方程组x＋y＝1，y－x＝1得x＝0，y＝1.则交点为(0，1)，对应的极坐标为1，π2.