人教版高中数学选修44练习第二讲二第1课时椭圆Word版含解析

第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第1课时椭圆A级基础巩固一、选择题1．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是()A.x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)B.x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)C.x＝9cosφ，y＝4sinφ(φ为参数)D.x＝4cosφ，y＝9sinφ(φ为参数)解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为x24＋y29＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)．答案：B2．椭圆x＝2cosθ，y＝5sinθ(θ为参数)的焦距为()[来源:学科网]A.21B．221C.29D．229解析：消去参数θ得椭圆方程为：x24＋y225＝1，所以a2＝25，b2＝4，所以c2＝21，所以c＝21，[来源:学,科,网Z,X,X,K]所以2c＝221.答案：B3．点(2，33)对应曲线x＝4cosθ，y＝6sinθ(θ为参数)中参数θ的值为()A．kπ＋π6(k∈Z)B．kπ＋π3(k∈Z)C．2kπ＋π6(k∈Z)D．2kπ＋π3(k∈Z)解析：由x＝4cosθ＝2，y＝6sinθ＝33得cosθ＝12，sinθ＝32，故D正确．答案：D4．当参数θ变化时，动点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线必过()A．点(2，3)B．点(2，0)C．点(1，3)D．点0，π2解析：把四个选项代入P点检验，只有B符合．答案：B5．椭圆x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，0≤θ2π)上有一点P532，2，则P点的离心角为()A.π3B.π6C.π2D.3π2解析：将P532，2代入x＝5cosθ，y＝4sinθ得cosθ＝32，sinθ＝12.又0≤θ2π，所以θ＝π6.答案：B二、填空题6．已知椭圆的参数方程为x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN的斜率为________．解析：当t＝π3时，x＝2cosπ3＝1，y＝4sinπ3＝23，即M(1，23)，同理N(3，2)．kMN＝23－21－3＝－2.答案：－27．已知P是椭圆x216＋y28＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．解析：设P(4cosθ，22sinθ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得x＝0＋4cosθ2，y＝0＋22sinθ2，即x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，消去θ得动点M的轨迹方程是x24＋y22＝1.答案：x24＋y22＝18．已知A(3，0)，P是椭圆x225＋y216＝1上的动点．若使|AP|最大，则P点坐标是________．解析：椭圆的参数方程为x＝5cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，[来源:学科网ZXXK]则|PA|＝（5cosθ－3）2＋（4sinθ）2＝9cos2θ－30cosθ＋25＝（3cosθ－5）2＝|3cosθ－5|≤8，当cosθ＝－1时，|PA|最大，此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5，0)．答案：(－5，0)三、解答题9．已知直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值，以及取得最大值时点P的坐标．解：直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.因为P为椭圆x24＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)．因此点P到直线l的距离[来源:学科网ZXXK]d＝|2cosθ＋2sinθ|12＋22＝22sinθ＋π45，所以当sinθ＋π4＝±1，即θ＝kπ＋π4，k∈Z时，d取得最大值2105.当k为偶数时，得点P的坐标为2，22，当k为奇数时，得点P的坐标为－2，－22.所以点P到直线l的距离的最大值为2105，取得最大值时点P的坐标为2，22或－2，－22.10．设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A1，32到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A1，32在椭圆上，因此14＋322b2＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，3sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝2cosθ－12，y＝3sinθ＋02，所以x＋12＝cosθ，2y3＝sinθ.消去θ，得x＋122＋4y23＝1.即为线段F1P中点的轨迹方程．B级能力提升1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋22y的最大值为()A．26B．4C.2＋6D．22[来源:学科网ZXXK]解析：椭圆为x26＋y24＝1，设P(6cosθ，2sinθ)，x＋22y＝6cosθ＋2sinθ＝22sinθ＋π3≤22.答案：D2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆x＝2cosθ，y＝4sinθ(0≤θ2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．解析：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b得：4sinθ＝2cosθ＋b因为恒有公共点，所以方程有解．令f(θ)＝b＝4sinθ－2cosθ＝25sin(θ－φ)，其中tanφ＝12.所以－25≤f(θ)≤25.所以－25≤b≤25.答案：[－25，25]3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝|3cosα－sinα＋4|2＝2cosα＋π6＋42＝2cosα＋π6＋22.由此得，当cosα＋π6＝－1时，d取得最小值，且最小值为2.