人教版高中数学选修44练习第二讲四渐开线与摆线Word版含解析

第二讲参数方程四、渐开线与摆线A级基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.r＝5（φ－sinφ），y＝5（1－cosφ）(φ为参数)表示的是()A．半径为5的圆的渐开线的参数方程B．半径为5的圆的摆线的参数方程C．直径为5的圆的渐开线的参数方程D．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.答案：B[来源:学科网]3．下列各点中，在圆的摆线x＝φ－sinφ，y＝1－cosφ(φ为参数)上的是()A．(π，0)B．(π，1)C．(2π，2)D．(2π，0)解析：当φ＝π时，x＝π－sinπ＝π，y＝1－cosπ＝1＋1＝2，当φ＝2π时，x＝2π－sin2π＝2π，y＝1－cos2π＝1－1＝0，故选D.[来源:学§科§网]答案：D4．圆x＝3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．3πC．6πD．10π解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为x＝3cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A与点B3π2，2之间的距离为()[来源:学科网]A.π2－1B.2C.10D.3π2－1解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为x＝3（φ－sinφ），y＝3（1－cosφ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得x＝3π2－1，y＝3，即A3π2－1，3，所以|AB|＝3π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案：C二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是x＝3φ－3sinφ，y＝3－3cosφ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．解析：由圆的摆线的参数方程x＝3（φ－sinφ），y＝3（1－cosφ）(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线x＝6（cosφ＋φsinφ），y＝6（sinφ－φcosφ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x24＋y2＝36，即x2144＋y236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为123.答案：1238．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则摆线x＝r（θ－sinθ），y＝r（1－cosθ）(θ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________________．解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换．答案：x＝r（1－cosθ），y＝r（θ－sinθ）(θ为参数)三、解答题[来源:学§科§网]9．已知一个圆的摆线方程是x＝4φ－4sinφ，y＝4－4cosφ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[来源:Zxxk.Com]解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是x＝4cosθ＋4θsinθ，y＝4sinθ－4θcosθ(θ为参数)．10．已知圆的渐开线的参数方程为x＝2cosφ＋2φsinφ，y＝2sinφ－2φcosφ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为x＝2φ－2sinφ，y＝2－2cosφ(φ是参数)．B级能力提升1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案：C2．摆线x＝4（t－sint），y＝4（1－cost）(t为参数，0≤t2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cost)得cost＝0.因为t∈[0，2π)，所以t1＝π2，t2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C的参数方程x＝1＋6cosα，y＝－2＋6sinα(α为参数)和直线l的普通方程x－y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－62＝0的距离d＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是x＝6（φ－sinφ），y＝6（1－cosφ）(φ为参数)．