人教版高中数学选修45练习第一讲11113三个正数的算术几何平均不等式Word版含解

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：xy＋x2＝12xy＋12xy＋x2≥3312xy·12xy·x2＝3314（x2y）2＝3344＝3，当且仅当12xy＝x2，即x＝1时，等号成立．答案：C2．若a＞b＞0，则a＋1b（a－b）的最小值为()A．0B．1C．2D．3解析：因为a＋1b（a－b）＝(a－b)＋b＋1b（a－b）≥33（a－b）·b·1b（a－b）＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋1b（a－b）的最小值为3.答案：D3．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgx＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．lg6，＋∞)D．3lg2，＋∞)解析：因为lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤x＋y＋z33＝23，所以lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336B．22C．12D．1235解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3326＝12.当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C5．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是()A.3322B.2333C.332D.223解析：当logxy＝－2，得x－2＝y，即x2y＝1，且x＞0，y＞0，x＋y＝12x＋12x＋y≥3312x·12x·y＝3232.当且仅当12x＝y时等号成立．答案：A二、填空题6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．解析：因为a，b是正数，ab2＝1，所以a＋b＝a＋b2＋b2≥33ab24＝3232.故a＋b的最小值是3232，当且仅当ab2＝1，a＝b2，即a＝1232，b＝32时取到最小值．答案：33227．函数f(x)＝x(5－2x)20＜x＜52的最大值是________．解析：f(x)＝14×4x(5－2x)(5－2x)≤144x＋5－2x＋5－2x33＝25027，当且仅当4x＝5－2x，即x＝56时，等号成立．故函数f(x)＝x(5－2x)20＜x＜52的最大值为25027.答案：250278．设x，y，z＞0且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值是_________．解析：因为6＝x＋3y＋4z＝x2＋x2＋y＋y＋y＋4z≥66x2y3z，所以x2y3z≤1，当且仅当x2＝y＝4z，即x＝2，y＝1，z＝14时，等号成立．所以x2y3z取得最大值1.答案：1三、解答题9．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝12·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤12233＝427.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝33时取等号．所以ymax＝239.10．已知a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.证明：因为a，b，c为正数，所以a＋b＋c≥33abc，a2＋b2＋c2≥33a2b2c2所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥33abc·33a2b2c2＝93abc·a2b2c2.所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．B级能力提升1．若数列{an}的通项公式是an＝nn3＋128，则该数列中的最大项是()A．第4项B．第6项C．第7项D．第8项解析：an＝nn3＋128＝1n2＋128n＝1n2＋64n＋64n因为n2＋64n＋64n≥33n2·64n·64n＝48，当且仅当n2＝64n，即n＝4时，等号成立，所以an≤148，该数列的最大项是第4项．答案：A2．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为__________，最小值为________．解析：因为y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8sin2x＋sin2x＋2cos2x33＝8×827＝6427，所以y2≤6427，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±2时取等号．所以ymax＝893，ymin＝－893.答案：839－8393．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x－1）2＝8＋2x－x2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x－x2)2＝332(8＋2x－x2)，帐篷的体积为V(x)＝332(8＋2x－x2)·13（x－1）＋1＝32(4－x)(x＋2)(x＋2)＝34(8－2x)(x＋2)(x＋2)≤34（8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2）33＝163.当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．即当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2m时帐篷的体积最大．