人教版高中数学选修45练习第三讲33排序不等式Word版含解析

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为()A．3B．6C．9D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是()A．M≥NB．M＝NC．M＜ND．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是()A．1B．2C．3D.33解析：设a≥b≥c≥0，所以a≥b≥c.由排序不等式可得ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc.而(aa＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aa＋bb＋cc≤3.所以ab＋bc＋ca≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．解析：设a≥b≥c＞0，所以1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，由排序原理，知ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋ab＋a，①ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ca＋b，②①＋②得ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥32.答案：328．设a，b，c＞0，则bca＋cab＋abc________a＋b＋c.解析：不妨设a≥b≥c＞0，则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab.由顺序和≥乱序和，得abc＋acb＋bca≥1b·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．答案：≥三、解答题9．对a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．解：取两组数a，b，c和a2，b2，c2.不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和；a2b＋b2c＋c2a都是乱序和，故有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.10．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1abc.证明：(1)不妨设a≥b＞0，则a2≥b2＞0.所以a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，所以a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．所以1a3＋b3＋abc＋1b3＋c3＋abc＋1c3＋a3＋abc≤1ab（a＋b）＋abc＋1bc（b＋c）＋abc＋1ac（a＋c）＋abc＝1a＋b＋c1ab＋1bc＋1ca＝1a＋b＋c·c＋a＋babc＝1abc.故原不等式得证．B级能力提升1．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1b2＋a2b1C．a1a2＋b1b2D.12解析：因为0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，所以a1a2＋b1b2≤a1＋a222＋b1＋b222＝12.由0＜a1＜a2，0＜b1＜b2及排序不等式知a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2＞12.答案：A2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则b2a＋a2b的最小值是________．解析：不妨设a≥b＞0，则有a2≥b2，且1b≥1a.由排序不等式b2a＋a2b≥1a·a2＋1b·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．所以b2a＋a2b的最小值为1.答案：13．设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数．求证1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2.证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn，因为b1，b2，…，bn是互不相同的正整数，所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n，又因为1＞122＞132＞…＞1n2，所以由排序不等式，得a1＋a222＋a332＋…＋ann2≥b1＋b222＋b332＋…＋bnn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n·1n2＝1＋12＋13＋…＋1n，所以原不等式得证．