人教版高中数学选修45练习第二讲22综合法与分析法Word版含解析

第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法A级基础巩固一、选择题1．若a＞0，b＞0，则必有()A.b2a＞2b－aB.b2a＜2b－aC.b2a≥2b－aD.b2a≤2b－a解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，所以a＋b2a≥2b，即b2a≥2b－a.答案：C2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(2＋1)B．xy≤2＋1C．x＋y≤2(2＋1)2D．xy≥2(2＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤x＋y22.所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(2＋1)．答案：A3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是()A.2a＋ba＋2b＞abB.b2＋1a2＋1＞b2a2C．a＋1a＞b－1bD．aa＞ab解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以b2＋1a2＋1＞b2a2.答案：B4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．abc(a＋b＋c)≤13解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．答案：B5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．如：a＝12，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.答案：B二、填空题6．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．解析：aa＋bb＞ab＋ba⇔(a＋b)(a－b)2＞0⇔a≥0，b≥0，且a≠b.答案：a≥0，b≥0，且a≠b7．若1a＜1b＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ba＋ab＞2.其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a＜1b＜0，所以b＜a＜0，故②③错．答案：①④8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则a＋bc的取值范围是________．解析：因为a2＋b2＝c2，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，所以a＋bc≤2，又因为a＋b＞c，所以a＋bc＞1.所以a＋bc的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]三、解答题9．求证：7＜25－3.证明：21＜25⇒21＜5⇒221＜10⇒10＋221＜20⇒(7＋3)2＜(25)2⇒7＋3＜25⇒7＜25－3.所以原不等式成立．10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜43.证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.所以a2＋ab＋b2＝a＋b.所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.所以a＋b＞1.要证a＋b＜43，只需证3(a＋b)＜4，只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，而a，b为不相等的正数，所以(a－b)2＞0一定成立．故a＋b＜43成立．综上所述，1＜a＋b＜43.B级能力提升1．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是()A．(a＋b)1a＋1b≥4B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD.|a－b|≥a－b解析：因为a＞0，b＞0，所以(a＋b)1a＋1b≥2ab·21ab≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故A恒成立；a3＋b3≥2ab2，取a＝12，b＝23，则B不成立；a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；若a＜b，则|a－b|≥a－b恒成立；若a≥b，则(|a－b|)2－(a－b)2＝2(ab－b)≥0，所以|a－b|≥a－b，故D恒成立．答案：B2．若n为正整数，则2n＋1与2n＋1n的大小关系是________．解析：要比较2n＋1与2n＋1n的大小，只需比较(2n＋1)2与2n＋1n2的大小，即4n＋4与4n＋4＋1n的大小．因为n为正整数，所以4n＋4＋1n＞4n＋4.所以2n＋1＜2n＋1n.答案：2n＋1＜2n＋1n3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，abcd，得(a＋b)2(c＋d)2.因此a＋bc＋d.(2)①若|a－b||c－d|，则(a－b)2(c－d)2，即(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd，由(1)得a＋bc＋d.②若a＋bc＋d，则(a＋b)2(c＋d)2即a＋b＋2abc＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以abcd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b||c－d|，综上所述a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．