共点力的平衡问题

每日一题：专题1—共点力的平衡问题例1．如图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.3,物体质量为m=5.0kg．现对物体施加一个跟水平方向成θ=37°斜向上的拉力F，使物体沿水平面做匀速运动．求拉力F的大小．变式：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力F，θ、m、μ均不变，则推力需要多大，才能使物体沿水平面做匀速运动。当θ增大到某一个角度时，不论多大的推力F,都不能推动物体。求这个临界角。解析：正交分解法。物体受四个力：mg、FN、f、F．建立坐标系如图所示．将拉力F沿坐标轴分解．Fx=FcosθFy=Fsinθ根据共点力平衡条件，得X轴：∑Fx=0Fcosθ—f=0………⑴Y轴：∑Fy=0Fsinθ+FN—mg=0………⑵公式f=μFN………⑶将⑵⑶代入⑴Fcosθ=μFN=μ(mg—Fsinθ)解得F=sincosmg=N156.03.08.08.90.53.0归纳解题程序：定物体，分析力→建坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果．变式：F=6.03.08.08.90.53.0sincosmg23.71N这里的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为cosθ—μsinθ=Fmg当F→∞时，Fmg→０则令cosθ—μsinθ=0所以有cotθ=μ或tanθ=1θ=tan—11例2：如题所示，物体可以自由地沿斜面匀速下滑，当沿竖直方向施加一个压力F后，物体能否保持匀速运动变式：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为m的球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？解析：物体自由地匀速下滑时，有mgsinθ—μmgcosθ=0………⑴或变为sinθ—μcosθ=0………⑵当对物体施加一个竖直向下的力F时，将F和mg等效为一个竖直向下的作用力G′=F+mg………⑶则物体沿斜面方向受的合力为∑F=G′sinθ—μG′cosθ=(F+mg)sinθ—μ(F+mg)cosθ………⑷将⑴式代入⑶得∑F=F(sinθ—μcosθ)=0即物体仍然做匀速运动。变式解析：设木箱的质量为M，木箱匀速下滑时，有：Ｍgsinθ—μＭgcosθ=0在木箱中放一质量为m的小球后，整体受合力为∑F=(M+m)gsinθ—μ(M+m)gcosθ=mg(sinθ—μcosθ)=0木箱仍然能保持匀速运动。小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有FN=mgsinθ例3：如图所示，OA、OB、OC三条轻绳共同连接于O点，A、B固定在天花板上，C端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC这三条绳能够承受的最大拉力分别为150N、100N和200N，为保证绳子都不断，OC绳所悬重物不得超过多重？变式．如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳AB承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：结点O受三个力：FAO、FBO、FCO而平衡，根据任两个力的合力与第三个力等大反向完成矢量图设BO绳恰好拉断，即FBO=100N，则FAO=FBOcot30°=1003N＞150N，FCO=FBO/sin30°=2FBO=200N,CO绳也恰好拉断。所以，在BO和CO还达到承受限度之前，AO绳已被拉断。应设AO绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为G=FAO/cos30°=150/3/2=1003N/0.8=250N＜300N，CO绳不会被拉断。所以，CO绳悬挂的重物的最大质量为m，mg=FCO．m=FCO/g=25kg变式：N3200例4：固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图示的位置缓慢地拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力N，细线的拉力T的大小变化情况是（）A．N变大，T变大B..N变小，T变大C．N不变，T变小D.N变大，T变小解析：小球受三个力：mg、T、N,如图所示。由于T与N的合力与mg等大反向，画矢量图如图所示。力三角形与空间三角形相似，有大RhLmgT,RhRmgNmg、R、h是不变量，小球沿大球面缓慢向上移动，L减小，所以T减小，N不变。变式：一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑。已知小球静止在如图所示位置，求该位置弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？GkRkLLRkG22cos)cos2(cos2例5：如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，问：①绳中的张力T为多少?②A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?分析与解：:因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例7中，OA、OB、OC分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。轻质挂钩的受力如图所示，由平衡条件可知，T1、T2合力与G等大反向，且T1=T2。所以T1sinα+T2sinα=T3=G即T1=T2=sin2G，而AO·cosα+BO.cosα=CD，所以cosα=0.8sin=0.6，T1=T2=10N同样分析可知：A点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。变式：如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A、B两点到O点的距离相等，绳的长度为OA的两倍。图（b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和AK和BK的拉力F，且两拉力相等，由于对称，因此重力作用线必过AK和BK的角平分线。延长AK交墙壁于C点，因KB=KC，所以由已知条件AK+KC=AC=2AO，所以图中的角度α=30°，此即两拉力与重力作用线的夹角。两个拉力的合力R与重力等值反向，所以：2Fcos30°=R=G，所以F=mg/2cos30°=3mg/3。点评：①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩，则结果相同。②设绳子长度为L=AC，两悬点之间的水平距离为d=AO，sinα=d/L，所以，当L、d不变时，任由B点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度α为定值。滑轮两边绳子拉力F也为定值。③对于可以改变两悬点A、B的水平距离的情况，拉力的变化也可由sinα=d/L先分析角度，然后由平衡条件求解。