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北京八中2018-2019学年度高一第二学期期末练习题一、选择题（本大题共10分，每小题5分，共50分）01．光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为【】A．y＝3x﹣3B．y＝﹣3x+3C．y＝﹣3x﹣3D．y＝3x+302．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题正确的是【】A．若b⊂α，c∥α，则c∥bB．若b⊂α，b∥c，则c∥αC．若c⊂α，α⊥β，则c⊥βD．若c⊂α，c⊥β，则α⊥β03．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是【】A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法04．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号），若第5组抽出的号码为23，则第1组至第3组抽出的号码依次是【】A．3，8，13B．2，7，12C．3，9，15D．2，6，1205．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是【】A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”06．从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会，至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有【】种A．C31𝐶41𝐶51B．C73−𝐶43C．C31𝐶42+𝐶32𝐶41D．C7307．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c=√3，A＝45°，B＝75°，则a＝【】A．√2B．√3C．1D．308．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【】A．8−2𝜋3B．8−𝜋3C．8﹣2πD．2𝜋309．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为【】A．2，5B．5，5C．5，8D．8，810．记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记𝐷1𝑃𝐷1𝐵=𝜆．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为【】A．（0，1）B．(13，1)C．(0，13)D．（1，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）11．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有种．（用数字回答）12．直线𝑥−√3𝑦−1=0的倾斜角为．13．己知正方形ABCD，向正方形ABCD内任投一点P，则△PAB的面积大于正方形ABCD面积四分之一的概率是14．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为．15．把三位学生分配到四间教室，每位学生被分配到每一间教室的可能性相同，则三位学生都被分配到同一间教室的概率为；至少有两位学生被分配到同一间教室的概率为．16．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如里这n次抛掷所出现的点数和大于n2，则算过关，可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为；若直接扬战第四关，则通关的慨率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（13分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB＝bcosC，（1）求角B的大小；（2）若b=√7，a+c＝4，求△ABC的面积．18．（13分）已知直线1：ax+y﹣2＝0及圆心为C的圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4．（1）当a＝1时，求直线l与圆C相交所得弦长；（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值．19．（15分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：分组频数频率[10，15）mP[15，20）24n[20，25）40.1[25，30）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．20．（15分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD=12BC＝2，E是BC的中点，AE∩BD＝M，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面B1DM；（Ⅱ）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C上是否存在点P，使得MP∥平面B1AD，若存在，求出𝐵1𝑃𝐵1𝐶的值；若不存在，说明理由．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是|𝑥|𝑎+|𝑦|𝑏=1（a，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积；（2）若直线l：x+y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点（1𝑏，1𝑎2）到直线l距离的最小值．1．B．2．D．3．B．4．A．5．D．6．C．7．A．8．A．9．C．10．B．11.72．12．𝜋6．13．12．14．5215．116，716．16．58，9861296．17．（1）在△ABC中，∵（2a﹣c）cosB＝bcosC，结合正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sinA，∴cosB=12，∴B＝60°．（2）若b=√7，a+c＝4，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得，ac＝3，∴𝑆=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=3√34．18．（1）当a＝1时，直线l：x+y﹣2＝0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．圆心坐标为（1，1），半径为2．圆心（1，1）在直线x+y﹣2＝0上，则直线l与圆C相交所得弦长为4；（2）由直线l与圆C相切，得|1×1+1×𝑎−2|√2=2，解得：a＝1±2√2．19．（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，10𝑀=0.25，∴M＝40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2＝40，m＝4．p=𝑚𝑀=0.10．∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a=2440×5=0.12；（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2＝6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，∴所求概率为P＝1−115=1415．20．（Ⅰ）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．所以四边形ADCE是平行四边形．所以AE∥CD．故CD⊥DM．因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M⊂平面AECD所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．因为CD⊂平面AECD，所以B1M⊥CD．因为MD∩B1M＝M，MD、B1M⊂平面B1MD，所以CD⊥平面B1MD．…（Ⅱ）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，则𝐶(2，√3，0)，𝐵1(0，0，√3)，A（﹣1，0，0），𝐷(0，√3，0)．平面AB1E的法向量为𝑀𝐷→=（0，√3，0）．设平面DB1A的法向量为𝑚→=（x，y，z），因为𝐴𝐵1→=（1，0，√3），𝐴𝐷→=（1，√3，0），{𝑥+√3𝑧=0𝑥+√3𝑦=0，令z＝1得，𝑚→=（−√3，1，1）．所以cos＜𝑚→，𝑀𝐷→＞=√55，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为√55．…（10分）（Ⅲ）存在点P，使得MP∥平面B1AD．…（11分）法一：取线段B1C中点P，B1D中点Q，连结MP，PQ，AQ．则PQ∥CD，且𝑃𝑄=12𝐶𝐷．又因为四边形AECD是平行四边形，所以𝐴𝐸∥¯¯𝐶𝐷．因为M为AE的中点，则𝐴𝑀∥¯¯𝑃𝑄．所以四边形AMPQ是平行四边形，则𝑀𝑃∥¯¯𝐴𝑄．又因为AQ⊂平面AB1D，所以MP∥平面AB1D．所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，𝐵1𝑃𝐵1𝐶=12．法二：设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，设𝐵1𝑃→=𝜆𝐵1𝐶→，（0≤λ≤1），𝐶(2，√3，0)，因为𝑀𝑃→=𝑀𝐵1→+𝐵1𝑃→．所以𝑀𝑃→=(2𝜆，√3𝜆，√3−√3𝜆)．因为MP∥平面B1AD，所以𝑀𝑃→⋅𝑚→=0，所以−2√3𝜆+√3𝜆+√3−√3𝜆=0，解得𝜆=12，又因为MP⊄平面B1AD，所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，𝐵1𝑃𝐵1𝐶=1221．（1）当a＝1，b＝2时，曲线C的方程是|x|+|𝑦|2=1，曲线C围成的区域为菱形，其面积为12×2×4＝4；（2）当x＞0，y＞0时，有𝑥𝑎+𝑦𝑏=1，联立直线x+y＝1可得M（𝑎−𝑎𝑏𝑎−𝑏，𝑎𝑏−𝑏𝑎−𝑏），当x＜0，y＞0时，有𝑥−𝑎+𝑦𝑏=1，联立直线x+y＝1可得N（𝑎−𝑎𝑏𝑎+𝑏，𝑏+𝑎𝑏𝑎+𝑏），由OM⊥ON可得kOMkON＝﹣1，即有𝑎𝑏−𝑏𝑎−𝑎𝑏•𝑏+𝑎𝑏𝑎−𝑎𝑏=−1，化为1𝑎2=1𝑏2−2𝑏+2，点（1𝑏，1𝑎2）到直线l距离d=|1𝑏+1𝑎2−1|√2=1𝑏2−1𝑏+1√2=(1𝑏−12)2+34√2，由题意可得a﹣ab＜0，a﹣b＜0，ab﹣b＜0，即a＜ab＜b，可得0＜a＜1，b＞1，可得当1𝑏=12，即b＝2时，点（1𝑏，1𝑎2）到直线l距离取得最小值3√28．