北京市东城区20102011学年上学期高三年级期末统一检测数学试卷理科

海量资源尽在星星文库：学年上学期高三年级期末统一检测数学试卷（理科）（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟。）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合P={x|x4}，Q={x|x24}，则A.PQB.QPC.QCPRD.PCQR2.在复平面内，复数i(i-1)对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知实数x，y满足条件,01,01,01yxyyx那么2x-y的最大值为A.-3B.-2C.1D.24.已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若a=log312，b=log213，c=(21)0.3，则A.abcB.acbC.bcaD.bac6.直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.相交或相切7.已知△ABD是等边三角形，且AB3,21CDACAD，那么四边形ABCD的面积为A.23B.323C.33D.3298.已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数。给出下列函数：①f(x)=x2；②f(x)=sinx+cosx；③f(x)=12xxx；④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|。其中是F函数的序号为A.②④B.①③C.③④D.①②第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题。每小题5分。共30分。9.已知sin(π+α)=-31，且α是第二象限角，那么sin2α=_________。10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________。海量资源尽在星星文库：在数列{an}中，若a1=2，且对任意的正整数p，q都有ap+q=apaq，则a8的值为_________。12.已知函数f(x)=,0,)31(,0,log3xxxx那么不等式f(x)≥1的解集为_________。13.已知双曲线kx2-y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么双曲线的离心率为_________；渐近线方程为_________。14.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2，若在区间(0，1)内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式1)1()1(qpqfpf恒成立，则实数a的取值范围是_________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共13分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0，ω0，|φ|2)的部分图象如图所示。（I）求f(x)的最小正周期及解析式；（II）设g(x)=f(x)-cos2x，求函数g(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值。16.（本小题共13分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，数列{bn}满足bn+1=2bn-1(n∈N*)，且b1=5。（I）求{an}，{bn}的通项公式；（II）设数列{cn}的前n项和为Tn，且)1(log12nnnbac，证明：Tn21。17.（本小题共14分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点。海量资源尽在星星文库：（I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求证：平面BDE⊥平面BEC；（III）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值。18.（本小题共13分）已知函数f(x)=xlnx。（I）求函数f(x)在[1，3]上的最小值；（II）若存在x∈[,e1e]（e为自然对数的底数，且e≈2.718）使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立，求实数a的取值范围。19.（本小题共13分）设A，B分别为椭圆12222byax（ab0）的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点（1，23）在该椭圆上。（I）求椭圆的方程；（II）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形。20.（本小题共14分）已知集合A={a1，a2，…，an}中的元素都是正整数，且a1a2…an，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥25xy。（I）求证：2511_11naan；（II）求证：n≤9；（III）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A。海量资源尽在星星文库：【试题答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.A2.C3.C4.A5.D6.D7.B8.C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.92410.3611.25612.(-∞，0)[3，+∞]13.021,25yx14.,15注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（共13分）解：（I）由图可得A=1，2π6π3π22T，所以T=。………………………………·2分所以=2。当6πx时，f(x)=1，可得sin(2·6π)=1，因为2π，所以6π。…………………………………………………5分所以f(x)的解析式为)6π2sin()(xxf。……………………………………6分（II）g(x)=xxxxf2cos)6π2sin(2cos)(=xxx2cos6πsin2cos6πcos2sin=xx2cos212sin23=)62sin(x。……………………………………………10分因为02πx，所以6π56π26πx。当,2π6π2x即3πx时，g(x)有最大值，最大值为1；当6π6π2x，即x=0时，g(x)有最小值，最小值为21。………………13分16.（共13分）（I）解：当n=1时，al=S1=2。当n2时，nnnnnSSannn211221。当n=1时，2n=2=1a。所以na=2n。………………………………………………………………3分海量资源尽在星星文库：=2bn-1，得bn+l-1=2(bn-1)，又bl-1=4≠0，所以{bn-1}是以4为首项，2为公比的等比数列。所以bn-1=(bn-1)2n-1=2n+1。所以bn=2n+1+1。……………………………………………………………6分（II）证明：cn=112log211log·1122nnnnba=111211212log2112nnnnnn。……………………………9分故Tn=1132121121nn=111312121121nn=11121n。…………………………………………12分所以Tn21。………………………………………………………………13分17.（共14分）（I）证明：取DE中点N，连结MN，AN。在EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=21CD。由已知AB∥CD，AB=21CD，所以MN∥AB，且MN=AB。所以四边形ABMN为平行四边形。所以BM∥AN。又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF。……………………………………………………………4分（II）证明：在正方形ADEF中，EDAD。又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，所以ED平面ABCD。海量资源尽在星星文库：BC。在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=22。在△BCD中，BD=BC=22，CD=4。所以BCBD。所以BC平面BDE。又因为BC平面BCE，所以平面BDE平面BEC。………………………………………………………9分（III）解：由（Ⅱ）知ED平面ABCD，且ADCD。以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)。平面ADEF的一个法向量为m=(0，1，0)。设n=(x，y，z)为平面BEC的一个法向量，因为,2,4,0,0,2,2CEBC所以.024,022zyyx令x=1，得y=1，z=2。所以n=(1，1，2)为平面BEC的一个法向量。设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为。则cos.66411·11··nmnm所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为66。………………………14分18.（共13分）解：（I）由f(x)=xlnx，可得f′(x)=lnx+1。…………………………………………2分当x∈(0，,e1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(,e1)时，f′(x)0，f(x)单调递增。所以函数f(x)在[1，3]上单调递增。又f(1)=ln1=0，所以函数f(x)在[1，3]上的最小值为0。………………………………………6分（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a2lnx+x+x3。若存在x∈[e1，e]使不等式2f(x)32axx成立，只需a小于或等于21nx+x+x3的最大值。设h(x)=2lnx+x+x3(x0)，则h′2213312xxxxxx。当x∈[e1，1)时，h′(x)0，h(x)单调递减；当x∈(1，e]时，h′(x)0，h(x)单调递增。由h(e1)=-2+e1+3e，h(e)=2+e+e3，h(e1)-h(e)=2e-e2-40，海量资源尽在星星文库：(e1)h(e)。所以，当x∈[e1，e]时，h(x)的最大值为h(e1)=-2+e1+3e。故a≤-2+e1+3e。…………………………………………………………13分19.（共13分）（I）解：由题意2a=4，所以a=2。所求椭圆方程为14222byx。又点23,1在椭圆上，可得b2=1。所求椭圆方程为1422yx。…………………………………………………………4分（II）证明：由（I）知A(-2，0)，B(2，0)。设P(4，t)(t≠0)，M(xM，yM)。则直线PA的方程为：26xty由,44,2622yxxty得0364492222txtxt。因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M。所以22942ttxM，所以229182ttxM由yM=26Mxt，得yM=296tt所以M222969182tttt，。从而tBPttttBM，，，296942222。所以0929698222222ttttttBPBM。又M，B，P三点不共线，所以∠MBP为钝角。所以△MBP为钝角三角形。…………………………………………………………13分20.（共14分）（I）证明：依题意有niiiiaaa，n，，iaaaa2111,12125又，因此2511iiiiaaaa(i=1，2…，n-1)。可得251111iiaa(i=1，2，…，n-1)。海量资源尽在星星文库：