培优网-2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)2015.1考生注意事项:1.本试卷共6页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时必须使用2B铅笔.3.修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面整洁,不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上作任何标记.4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合{1},{|0},MxNxx则MNI等于A.1xxB.1xxC.01xxD.2.下列函数中,在区间(0,π2)上是减函数的是A.cosyxB.sinyxC.2yxD.21yx3.在ABC中,60,2,3,AACBC,则B等于A.120oB.90oC.60oD.45o4.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A.8B.83C.4俯视图侧(左)视图正(主)视图11112培优网.435.“”是“sinsin”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线m和平面α,β,则下列四个命题中正确的是A.若,m,则mB.若//,m,则mC.若//,//m,则//mD.若//m,//m,则//7.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况8.已知数列}{na满足*134(1),nnaannN,且,91a其前n项之和为nS,则满足不等式1|6|40nSn成立的n的最小值是A.7B.6C.5D.4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分).9.计算:(1i)(12i)=.(i为虚数单位)10.执行如图所示的程序框图,如果输入2,那么输出的结果是,如果输入4,那么输出的结果是.结束输出y开始xy2log20x是输入x13xy否培优网,y满足约束条件1,,0,xyyxy≤≤≥则zxy2的最大值是.12.平面向量a与b的夹角为60o,(1,0)a,=2|b|,则|2|ab-=.13.双曲线13:22yxC的离心率是_________;若抛物线mxy22与双曲线C有相同的焦点,则m_____________.14.在下列函数①13,xy②,log3xy③21,yx④,sinxy⑤cos()6yx中,满足“对任意的1x,2x(0,1),则1212()()22xxfxfxf恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)已知函数1()3sincoscos21.2fxxxx(I)求函数()fx的最小正周期;(II)当[0,]2x时,求函数()fx的最大值及取得最大值时的x值.16.(本小题满分13分)有20名学生参加某次考试,成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示:(I)求频率分布直方图中m的值;(Ⅱ)分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数;(III)从成绩在[80,100]的学生中任选2人,求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率.4m6m5m3m10090807060频率组距成绩(分)50O2m培优网(本小题满分13分)在等比数列na中,252,16aa.(I)求等比数列na的通项公式;(II)若等差数列nb中,1582,baba,求等差数列nb的前n项的和nS,并求nS的最大值.18.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,=90DACo,O为AC的中点,PO底面ABCD.(I)求证:AD平面PAC;(II)在线段PB上是否存在一点M,使得//OM平面PAD?若存在,写出证明过程;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分14分)已知函数()1.xxfxexe(I)求函数()fx的最大值;(Ⅱ)设()(),fxgxx其中1,0xx且,证明:()gx<1.20.(本小题满分13分)已知椭圆C:22221(0)yxabab的离心率为22,其四个顶点组成的菱形的面积是42,O为坐标原点,若点A在直线2x上,点B在椭圆C上,且OAOB.(I)求椭圆C的方程;(II)求线段AB长度的最小值;(III)试判断直线AB与圆222xy的位置关系,并证明你的结论.DABCOP培优网-2015学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案及评分标准2015.1一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)题号12345678答案CADDABBC二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)9.3i10.10;411.212.213.332;414.①③三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)因为31()sin2cos2122fxxx…………4分sin(2)16x…………6分所以22T.…………7分(Ⅱ)因为()sin(2)16fxx,02x,所以2666x.…………9分所以当262x即6x时,函数)(xf的最大值是2.…………13分16.(本小题满分13分)解:(I)由题意10(23456)1mmmmm,0.005m.………3分(II)成绩落在[70,80)中的学生人数为20100.036,成绩落在[80,90)中的学生人数20100.024成绩落在[90,100]中的学生人数20100.012.……………6分培优网(III)设落在[80,90)中的学生为1234,,,aaaa,落在[90,100]中的学生为12,bb,则1121314111223242122343132414212{,,,,,,,,,,,,,,}aaaaaaababaaaaababaaababababbb,基本事件个数为15n,设A=“此2人的成绩都在[80,90)”,则事件A包含的基本事件数6m,所以事件A发生概率62()155mPAn.……………13分17.(本小题满分13分)解:(I)在等比数列na中,设公比为q,因为252,16aa,所以1412,16aqaq得112aq所以数列na的通项公式是12nna.……………5分(II)在等差数列nb中,设公差为d.因为1582,baba,所以1582=16,=2baba1116,+7=2bbd1=16,=2bd……………9分方法一21(1)172nnnSbndnn,当89n或时,Sn最大值为72.……………13分方法二由182nbn,当1820nbn,解得9n,即980,2.aa所以当89n或时,Sn最大值为72.……………13分18.(本小题满分14分)证明:(I)在ADC中,培优网=90.DACADACo因为,所以又因为POABCD面,ADABCD平面所以POAD.又因为=POACOPCACPACI平面,、,所以ADPAC平面.……………6分(II)存在.当M为PB中点时,OM//PAD平面.……………7分证明:设PAAD、的中点分别为EF、,连结OFMEEF、、,ACDOAC在中,为的中点,所以1//,=2OFCDOFCD.PABMEPBPA在中,、为、的中点,所以1//,=2MEABMEAB,//=MEOFMEOF,,所以四边形OMEF是平行四边形,所以//OMEF.因为OMPAD平面,EFPAD平面,所以//OMPAD平面.……………14分19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)'(),xfxxe…………………2分当(,0)x时,f(x)>0,f(x)单调递增;…………………4分当(0,)x时,f(x)<0,f(x)单调递减.…………………6分x(,0)0(0,))('xf+0-)(xf↗极大值↘所以f(x)的最大值为f(0)=0.…………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当0x时,()0,()01.fxgx…………………9分当10x时,()1gx等价于().fxx设()()hxfxx,则'()1xhxxe.当(1,0)x时,01,01,xxe则01,xxeDABCFEMOP培优网从而当(1,0)x时,'()0hx,()hx在(1,0)单调递减.…………………12分当(1,0)x时,()(0)0,hxh即()(0)0,()fxxhfxx所以,故g(x)<1.综上,总有g(x)<1.…………………14分20.(本小题满分13分)解:(I)由题意22242ceaab,解得224,2ab.故椭圆C的标准方程为22142yx.……………3分(II)设点A,B的坐标分别为00(2,),(,)txy,其中00y,因为OAOB,所以0OAOBuuruuur,即0020xty,……………4分解得002xty,又220024xy,所以22200||(2)()ABxyt=2200002(2)()xxyy=2220002044xxyy=2220002042(4)42yyyy=22002084(04)2yyy,……………5分因为22002084(04)2yyy,当且仅当204y时等号成立,所以2||8AB,故线段AB长度的最小值为22.……………7分(III)直线AB与圆222xy相切.……………8分培优网证明如下:设点A,B的坐标分别为00(,)xy,(2,)t,其中00y.因为OAOB,所以0OAOBuuuruuur,即0020xty,解得002xty.……………9分直线AB的方程为00(2)2ytytxx,即0000()(2)20ytxxyytx,……………10分圆心O到直线AB的距离0022002()(2)txydytx,……………11分由220024yx,002xty,故2000222000202244xyydxxyy200420020428162yyyyy,所以直线AB与圆222xy相切.……………13分