北京市朝阳区高三年级期中考试文科数学

高考帮——帮你实现大学梦想！1/10北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）2016.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|(1)0,}AxxxxR，1{|2,}2BxxxR，那么集合ABA.B．1{|1,}2xxxRC．{|22,}xxxRD．{|21,}xxxR2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A．1yxB．tanyxC．3yxD．2yx3.已知3sin5x，则sin2x的值为A．1225B．2425C．1225或1225D．2425或24254.设xR且0x，则“1x”是“1+2xx”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面.下列命题正确的是A．若,,mnmn，则B．若//,,//mn，则mnC．若,,//mn，则//mnD．若,,mnm，则n6.已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且OBOC0，||2||OAAB，则CABC等于（）A．154B．34C．154D．347.已知函数21,0,()log,0,xxfxxx则函数1()()2gxffx的零点个数是高考帮——帮你实现大学梦想！2/10A．4B．3C．2D．18.5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.设平面向量(1,2),(2,)yab，若a//b，则y.10.已知角A为三角形的一个内角，且3cos5A，sinA=.cos2A.11.已知2.1log0.6a，0.62.1b，0.5log0.6c，则a，b，c的大小关系是.12.设各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，若23a，245SS，则1a的值为，4S的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmxxfxmx在(,)上具有单调性，则实数m的取值范围是.14.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第天，两马相逢.高考帮——帮你实现大学梦想！3/10DCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知数列{}na（nN）是公差不为0的等差数列，若11a，且248,,aaa成等比数列.（Ⅰ）求{}na的通项公式;（Ⅱ）若11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nS.16.（本小题满分13分）已知函数sin3cosfxaxx（aR）的图象经过点,03（）.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）若3,22x，求fx的取值范围.17.（本小题满分13分）如图，已知,,,ABCD四点共面，且=1CD,2BC,4AB,120ABC,27cos7BDC.（Ⅰ）求sinDBC；（Ⅱ）求AD.高考帮——帮你实现大学梦想！4/10PEDCBA18.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，DE//PA．（Ⅰ）求证：BCCE；（Ⅱ）若直线m平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若22ABPADE，3AD，求三棱锥EPCD的体积．19.（本小题满分13分）已知函数1()exaxfx，aR.（Ⅰ）若曲线yfx（)在点0,0f（）处切线斜率为2，求函数()fx的最小值；（Ⅱ）若函数fx（)在区间0,1上无极值，求a的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数1()(1)ln,fxaxaxaxR.高考帮——帮你实现大学梦想！5/10（I）若2a，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若1a，且()1fx在区间1[,e]e上恒成立，求a的取值范围；（III）若1ea，判断函数()[()1]gxxfxa的零点的个数.北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学答案（文史类）2016.11一、选择题：（满分40分）题号12345678答案BCDABABA二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案447525，-bca115,22(1,2]16（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15.（本小题满分13分）解:（Ⅰ）设{}na的公差为d，因为248,,aaa成等比数列，所以2428()aaa.即2111(3)()(7)adadad，即21dad.又11a，且0d，解得1d.所以有1(1)naandn.……………………………………8分高考帮——帮你实现大学梦想！6/10（Ⅱ）由（Ⅰ）知：11111(1)1nnnbaannnn.则11111=1++...+2231nSnn.即1=111nnSnn.…………………………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为函数sin3cosfxaxx的图象经过点,03（），所以330.322fa（）解得1a.所以sin3cos2sin3fxxxx（）.所以fx最小正周期为.…………………7分（Ⅱ）因为322x，所以7.636x所以当32x，即56x时，fx取得最大值，最大值是2；当736x，即32x时，fx取得最小值，最小值是1.所以fx的取值范围是[1,2].……………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为27cos7BDC，所以21sin7BDC．由正弦定理=sinsinDCBCDBCBDC得，sin21sin=14DCBDCDBCBC．……………………5分（Ⅱ）在△BDC中，由2222cosBCDCDBDCDBBDC得，2274127DBDB．所以247307DBDB．高考帮——帮你实现大学梦想！7/10PEDCBA解得7DB或377DB（舍）．由已知得DBC是锐角，又21sin=14DBC，所以57cos=14DBC.所以cos=cos120ABDDBC（）.=cos120cossin120sinDBCDBC157321=2142147=．在△ABD中，因为222=2cosADABBDABBDABD7=167247()2714，所以33AD．……………………………13分18.（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PA底面ABCD，//PADE所以DE底面ABCD．所以DEBC．又因为底面ABCD为矩形，所以BCCD．又因为CDDED，所以BC平面CDE．所以BCCE．…………4分（Ⅱ）若直线m平面PAB，则直线//m平面CDE．证明如下，因为//PADE，且PA平面PAB，DE平面PAB，所以//DE平面PAB．在矩形ABCD中，//CDBA，且BA平面PAB，CD平面PAB，所以//CD平面PAB．又因为CDDED，所以平面//PAB平面CDE．高考帮——帮你实现大学梦想！8/10又因为直线m平面PAB，所以直线//m平面CDE．………………9分（Ⅲ）易知，三棱锥EPCD的体积等于三棱锥PCDE的体积.由（Ⅰ）可知，BC平面CDE．又因为//ADBC，所以AD平面CDE．易证//PA平面CDE，所以点P到平面CDE的距离等于AD的长．因为22ABPADE，3AD，所以1121122CDESCDDE．所以三棱锥EPCD的体积1113133CDEVSAD．…………14分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()exaxfx，所以1()exaxafx.依题意，(0)2f,解得1a.所以1()exxfx，2()exxfx.当2x时，()0fx，函数()fx为增函数；当2x时，()0fx，函数()fx为减函数；所以函数()fx的最小值是21(2)ef.…………………………6分（Ⅱ）因为1()exaxfx，所以1()exaxafx.（1）若0a，则1()0exfx.此时()fx在0,1上单调递减，满足条件.（2）若0a，令()0fx得111axaa.(ⅰ)若110a，即01a，则()0fx在0,1上恒成立.此时()fx在0,1上单调递减，满足条件.(ⅱ)若1011a，即1a时，由()0fx得101xa；由()0fx得111xa.此时()fx在1(0,1)a上为增函数，在111a（，）上为减，不满足条件.高考帮——帮你实现大学梦想！9/10(ⅲ)若111a即0a.则()0fx在0,1上恒成立.此时()fx在0,1上单调递减，满足条件.综上，1a.…………………………………………………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若2a，则1()2lnfxxxx，(0,)x2(21)(1)()xxfxx由()0fx得，01x；由()0fx得，1x.所以函数()fx的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,).………………3分（Ⅱ）依题意，在区间1[,e]e上min()1fx.222(1)1(1)(1)()axaxaxxfxxx,1a.令()0fx得，1x或1xa.若ea，则由()0fx得，1ex；由()0fx得，11ex.所以min()(1)11fxfa，满足条件；若1ea，则由()0fx得，11exa或1ex；由()0fx得，11xa.min1()min{(),(1)}efxff，依题意1()1e(1)1ff，即2ee12aa，所以2ea.若1a，则()0fx.所以()fx在区间1[,e]e上单调递增，min1()()1efxf，不满足条件；高考帮——帮你实现大学梦想！10/10综上，2a.……………………………………9分（III）(0,)x,2()(1)ln(1)1gxaxaxxax.所以'()2(1)lngxaxax.设()2(1)lnmxaxax，12(1)()2aaxamxaxx.令()0mx得12axa.当102axa时，()0mx；当12axa时，()0mx.所以()gx在1(0,)2aa上单调递减，在