北京市海淀区2011届高三查漏补缺数学试题

北京市海淀区2011届高三查漏补缺试题数学2011.51.数学思维方法的落实高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题.如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次.例1：设函数2()()exfxxaxa有极值.（Ⅰ）若极小值是0，试确定a；（Ⅱ）证明：当极大值为3时，只限于3a的情况.解：（Ⅰ）2'()(2)e()e(2)exxxfxxaxaxaxxa,由0)(xf得0x或ax2.①当2a时，2'()e0xfxx，)(xf单调递减，函数()fx无极值，与题意不符，故2a；②当2a时，ax2为极小值点.故2()(2)(4)eafxfaa极小值，当极小值为0时，4a；③当2a时，同理可得afxf)0()(极小值，当极小值为0时，0a.由①②③知：0a或4a.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当2a时，)(xf在0x处取极大值af)0(，当3a时，)(xf的极大值为3；当2a时，)(xf在ax2处取极大值2(2)(4)eafaa.现在的问题是当2(4)e3aa时是否3a？解方程2(4)e3aa，得2(4)e30aa，即22e(43e)0aaa（*）设2()43e(2)agaaa则2()13e0aga，所以，)(ag在)2,(上单调递增，则有1)2()(gag，此时方程（*）无解，故当2a时，)(xf的极大值不可能为3.根据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数)(xf的极大值为3时，只限于3a=.说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.例2.已知函数321()213fxaxxx.(0)a（Ⅰ）求函数()fx在(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx在(2,1)上单调减，且在(0,1)上单调增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当1a时，若0(,0]xt，函数()fx的切线中总存在一条切线与函数()fx在0x处的切线垂直，求t的最小值.解：（I）由已知(0)1f，2'()22fxaxx，所以'(0)2f，所以函数()fx在(0,(0))f处的切线方程为21yx（II）解1:①当0a时，'()22fxx，满足在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx，所以当0a时满足题意；②当0a时，2'()22fxaxx是恒过点(0,2)，开口向下且对称轴10xa的抛物线，由二次函数图象分析可得在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx的充要条件是'(1)0'(1)0ff解得40a，即40.a综上讨论可得40.a解2：由已知可得在(2,1)上'()0fx，且在(0,1)上'()0fx，即222(1)112()xaxxx在(2,1)上成立且222(1)112()xaxxx在(0,1)成立；因为在(2,1)上2112()0xx，在(0,1)上2112()4,xx所以40.a（III）当1a时，22'()223(1)3,fxxxx由题意可得0(,0]xt，总存在xR使得0'()'()1fxfx成立，即01'()'()fxfx成立，因为11(,](0,)'()3fx，当0(,0]xt时，20'()(3(1),2]fxt，所以23(1)0t，解得1313.t所以t的最小值为13.例3.如图，矩形ABCD内接于由函数,1,0yxyxy图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在0y上，求矩形ABCD面积的最大值.解：由图，设A点坐标为(,)xx,35(0,)2x,则(1,)Bxx，由图可得1xx，记矩形ABCD的面积为S，易得：32(1)()()SABADxxxxxx令51,(0,)2txt，得32Sttt所以'2321(31)(1)Stttt，令0S，得113tt或，因为51(0,)2t，所以13t.,SS随t的变化情况如下表：t1(0,)313151(,)32S+0-S极大值527由上表可知，当13t，即19x时，S取得最大值为527，所以矩形ABCD面积的最大值为527.说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.xyOADCB例4.已知axxxxfln)(，2)(2xxg，（Ⅰ）对一切)()(),,0(xgxfx恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，1a求函数]3,[)(mmxf在(0m)上的最小值.解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(xgxfx恒成立，即2ln2xaxxx恒成立.也就是xxalnx2在),0(x恒成立.令xxxxF2ln)(，则F2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx，在)10(，上F0)(x，在上，)1(上F0)(x，因此，)(xF在1x处取极小值，也是最小值，即min)(xF3)1()(minFxF，所以3a.（Ⅱ）当时，1axxxxfln)(，f2ln)(xx，由f0)(x得21ex.①当210em时，在上)1,[2emx上f0)(x，在上]3,1(2mex上f0)(x因此，)(xf在21ex处取得极小值，也是最小值，,1)1()(22mineefxf②当时21em，0)('xf，因此]3,[)(mmxf在上单调递增，所以min)(xf)1(ln)()(minmmmfxf.例5.已知数列na满足1aa，12nnaa．定义数列nb，使得1nnba，*Nn．若46a，则数列nb的最大项为（B）A．2bB．3bC．4bD．5b例6.假设实数1234,,,aaaa是一个等差数列﹐且满足102a及34a﹒若定义函数()xnnfxa，其中1,2,3,4n﹐则下列命题中错误．．的是（B）A.22()4faB.12()1faC.函数2()fx为递增函数D.(0,)x，不等式1234()()()()fxfxfxfx恒成立.说明：数列是函数，用函数的观点看待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面.2.理解数学概念的本质的落实学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上.落实基本概念，不能简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握情况，帮助学生理解数学概念的本质.例7.函数()3sin23πfxx的图象为C，如下结论中不正确．．．的是（D）（写出所有正确结论的编号）A.图象C关于直线1112πx对称B.图象C关于点203，对称C.函数()fx在区间51212，内是增函数D.由3sin2yx的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C例8．定义在R上的偶函数)(xf，对任意的Rx均有)()4(xfxf成立，当]2,0[x时，3)(xxf，则直线29y与函数)(xfy的图像交点中最近两点的距离等于．答案：1.例9．已知实数dcba,,,成等比数列，且对函数xxy)2ln(，当bx时取到极大值c，则ad等于（A）A．1B．0C．1D．2例10．已知：数列na满足161a，naann21，则nan的最小值为（B）.A8.B7.C6.D5例11．两条分别平行于x轴和y轴的直线与椭圆C：192522yx交于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最大值为答案：30.3.解决数学问题的一般思路的落实如何分析函数的问题？如果是数列求和问题，应该先想什么？拿到一个解析几何的题目，如何分析？立体几何的问题要思考什么？等等，类似这样的问题，要让学生多想想，通过不同的问题，让学生多思考，过去讲过的、做过的很多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思考的方法而不是题型套路.查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方面，更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方.例12．已知P是直线3480xy上的动点，,PAPB是圆222210xyxy的两条切线，,AB是切点，C是圆心，那么当四边形PACB面积取最小值时，弦AB.解析：过圆心C（1，1）作直线3480xy的垂线，垂足为P,这时四边形PACB面积的最小值为22，四边形PACB中42,3,3ABCPCPAB.例13．已知点1,Ma和,1Na在直线:2310lxy的两侧，则a的取值范围是.解析：,MN两点位于直线l的两侧，2312310,aa故11a例14.已知点(1,0)A、(1,0)B，00(,)Pxy是直线2yx上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P.记椭圆离心率e关于0x的函数为0()ex，那么下列结论正确的是(B)A.e与0x一一对应B.函数0()ex无最小值，有最大值C.函数0()ex是增函数D.函数0()ex有最小值，无最大值解析：依据椭圆定义||||2PAPBa，1ceaa当点P在'AB（',AA关于直线对称）上时，a取得最小值，此时，右图分析可得当点P向左或向右移动时，a都在增大。所以函数0()ex无最小值，有最大值.选B.43.532.521.510.50.511.522.533.544.5987654321123456A'BAP例15．双曲线的中心、右焦点、左顶点分别为,,OFA，若以O为顶点F为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点在以F为圆心FA为半径的圆上，则双曲线的离心率为_____________解析：设以O为顶点F为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点为P（00,bxxa），代入抛物线的方程24ycx，得2024acxb；又AFPF，AFac，由抛物线的定义可得0PFxc，所以0xcac，即0xa，故224acab，可得25cea.例16．函数sin0,0,fxAxbA在一个周期内，当6x时，y取最小值1;当23x时，y最大值3.(I)求fx的解析式；(II)求fx在区间3,2上的最值.解：(I)∵在一个周期内，当6x时，y取最小值1;当23x时，y最大值3.∴21,2,2362TAb，,2T，sin22fxx，由当23x时，y最大值3得44sin1,2332kkZ526k，∵，∴5.65sin22.6fxx故：(II)∵3,2x，∴75132666x，∴当32x时，fx取最大值52；当76x时，fx取最小值1.例17.设Sn是正项数列}{na的前n项和，3242nnnaaS．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）nnnnnbababaTb2211,2求已知的值．解：（Ⅰ）当n=1时，21111113,424aSaa又0na解得a1=3．当n≥2时，32)32(4444121211nnnnnnnnnaaaaSSSSa.1212224nnnnnaaaaa，∴0)2