北京市海淀区2015届高三上学期期末练习数学文试题含答案

培优网海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2015.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集{|0}UxxR，集合{|2}AxxR，则UCA（）（A）{|2}xxR（B）{|02}xxR（C）{|2}xxR（D）{|02}xxR（2）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z（）A1-2Oyx（A）12i（B）12i（C）2i（D）2i（3）已知直线1:(2)10laxay，2:20laxy.若1l∥2l，则实数a的值是（）（A）0或3（B）2或1（C）0（D）3（4）当向量(1,1)ac，(1,0)b时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）（A）5（B）4（C）3（D）2培优网（5）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）78861891578（A）0.375（B）0.625（C）0.5（D）0.125（6）已知函数22()log()log()()fxxaxaaR.命题:paR，函数()fx是偶函数；命题:qaR，函数()fx在定义域内是增函数.那么下列命题为真命题的是（）（A）q（B）pq（C）()pq（D）()pq（7）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31()(10)10VtHt（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m/h)v.那么瞬时融化速度等于3(m/h)v的时刻是图中的（）t4t3t2100t1tOV（A）1t（B）2t（C）3t（D）4t（8）在正方体1111ABCDABCD中，点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥1BDEC的表面积最大，则E点位于（）（A）点A处（B）线段AD的中点处（C）线段AB的中点处（D）点D处培优网二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）抛物线22yx的焦点坐标是______．（10）若双曲线221yxm的一条渐近线的倾斜角为60，则m.（11）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为________.（12）设不等式组220,10,10xyxyxy≤≥≥表示的平面区域为D.则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是_____．（13）在等比数列{}na中，若124a，489a，则公比q________；当n________时，{}na的前n项积．最大.（14）已知22:1Oxye.若直线2ykx上总存在点P，使得过点P的Oe的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_________.344俯视图侧（左）视图正（主）视图培优网三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）函数π()cos(π)(0)2fxx的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出及图中0x的值；（Ⅱ）求()fx在区间11[,]23上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s，22s，试比较21s与22s的大小.（只需写出结论）（17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，11AABB为正方形，11BBCC是菱形，平面11AABB平面11BBCC.（Ⅰ）求证：//BC平面11ABC；（Ⅱ）求证：1BC1AC；（Ⅲ）设点,,,EFHG分别是111111,,,BCAAABBC的中点，试判断,,,EFHG四点是否共面，并说明理由.CBC1B1A1ACBC1B1A1Ax0Oyx12培优网（18）（本小题满分13分）已知椭圆22:22Mxy.（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于,CD两点.问：是否存在直线l使得,,COD三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由.（19）（本小题满分13分）已知函数e()xfxx.（Ⅰ）若曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线方程为0axy，求0x的值；（Ⅱ）当0x时，求证：()fxx；（Ⅲ）问集合{()0}xfxbxR（bR且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）（20）（本小题满分14分）数列{}na的前n项和为nS，且满足11a，122nnaap（p为常数，1,2,3,nL）.（Ⅰ）若312S，求nS；（Ⅱ）若数列{}na是等比数列，求实数p的值.（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列1{}na满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由.培优网海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）答案及评分参考2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）D（3）A（4）D（5）B（6）C（7）C（8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）1(,0)2（10）3（11）8（12）22（13）13；4（14）(,1][1,)U三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）的值是π3.………………2分0x的值是43.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：π()cos(π)3fxx.因为11[,]23x，所以ππ2ππ633x.………………7分所以当ππ03x，即13x时，()fx取得最大值1；………………10分当π2ππ33x，即13x时，()fx取得最小值12.………………13分（16）（共13分）培优网解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350，女同学的人数为520250.………………4分（Ⅱ）记3名男同学为123,,AAA，2名女同学为12,BB.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有12131112232122,,,,,,,AAAAABABAAABAB313212,,ABABBB，共10个.………………6分用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是：11122122,,,,ABABABAB3132,ABAB.………………8分所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率63()105PC.………………10分（Ⅲ）2212ss.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在菱形11BBCC中，BC∥11BC.因为BCË平面11ABC，11BCÌ平面11ABC，所以//BC平面11ABC.………………3分（Ⅱ）连接1BC.在正方形11ABBA中，1ABBB^.因为平面11AABB平面11BBCC，平面11AABBI平面111BBCCBB，ABÌ平面11ABBA，所以AB^平面11BBCC.………………5分CBC1B1A1A培优网，所以1ABBC^.………………6分在菱形11BBCC中，11BCBC^.因为1BCÌ平面1ABC，ABÌ平面1ABC，1BCABBI=，所以1BC^平面1ABC.………………8分因为1ACÌ平面1ABC，所以1BC1AC.………………10分（Ⅲ）,,,EFHG四点不共面.理由如下：………………11分因为,EG分别是111,BCBC的中点，所以GE∥1CC.同理可证：GH∥11CA.因为GEÌ平面EHG，GHÌ平面EHG，GEGHGI=，1CCÌ平面11AACC，11ACÌ平面11AACC，所以平面EHG∥平面11AACC.因为F平面11AACC，所以F平面EHG，即,,,EFHG四点不共面.………………14分（18）（共13分）HGFECBC1B1A1A培优网解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：2212xy，则2,1ab.所以椭圆M的长轴长为22.………………2分因为221cab，所以22cea，即M的离心率为22.………………4分（Ⅱ）若,,COD三点共线，由CD是线段AB的垂直平分线可得：OAOB.………………6分由（Ⅰ）可得(0,1)A，设00(,)Bxy.………………7分所以22001xy.①又因为220022xy，②………………10分由①②可得：000,1xy（舍），或000,1.xy………………11分当000,1xy时，直线l的方程为0x，显然满足题意.所以存在直线l使得,,COD三点共线，直线l的方程为0x.………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：2ee'()xxxfxx.………………1培优网过原点(0,0)，所以00000200eeexxxxxxx.………………3分解得：02x.………………4分（Ⅱ）证明：设2()e()(0)xfxgxxxx，则24e(2)'()xxxgxx.令24e(2)'()0xxxgxx，解得2x.………………6分x在(0,)上变化时，'(),()gxgx的变化情况如下表x(0,2)2(2,)+?'()gx-0+()gx↘2e4↗所以当2x时，()gx取得最小值2e4.………………8分所以当0x时，2e()14gx?，即()fxx.………………9分（Ⅲ）解：当0b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为0；当2e04b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为1；当2e4b时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为2；培优网时，集合{()0}xfxbxR的元素个数为3.………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为11a，122nnaap，所以21222aapp，322222aapp.因为312S，所以22226324ppp，即6p.………………2分所以13(1,2,3,)nnaanL.所以数列{}na是以1为首项，3为公差的等差数列.所以2(1)31322nnnnnSn.………………4分（Ⅱ）若数列{}na是等比数列，则2213aaa.由（Ⅰ）可得：2(1)1(1)2pp