北京市海淀区2015届高三上学期期末练习数学理试题含答案

培优网海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）抛物线22xy的焦点坐标是（）（A）(1,0)（B）(1,0)（C）1(0,)2（D）1(0,)2（2）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数2z（）A1-2Oyx（A）34i（B）54i（C）54i（D）34i（3）当向量(2,2)ac，(1,0)b时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）（A）5（B）4（C）3（D）2（4）已知直线1:(2)10laxay，2:20lxay.若12ll，则实数a的值是（）（A）0（B）2或1（C）0或3（D）3培优网（5）设不等式组220,10,10xyxyxy≤≥≥表示的平面区域为D.则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）（A）1（B）22（C）12（D）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）344俯视图侧（左）视图正（主）视图（A）234（B）12（C）83（D）62（7）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：3m）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：31()(10)10VtHt（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m/h)v.那么瞬时融化速度等于3(m/h)v的时刻是图中的（）t4t3t2100t1tOV（A）1t（B）2t（C）3t（D）4t培优网（8）已知点A在曲线2:(0)Pyxx上，Ae过原点O，且与y轴的另一个交点为M.若线段OM,Ae和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD（点,,,ABCD顺时针排列）是正方形，则称点A为曲线P的“完美点”.那么下列结论中正确的是（）（A）曲线P上不存在“完美点”（B）曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1（C）曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1（D）曲线P上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在61()xx的展开式中，常数项是.（用数字作答）（10）在极坐标系中，直线sin3被圆4sin截得的弦长为______．（11）若双曲线221yxm的一条渐近线的倾斜角为60，则m.（12）如图所示，AD是Oe的切线，2,3ABAC，π4ACB，那么CAD_______.（13）在等比数列{}na中，若124a，489a，则公比q________；当n________时，{}na的前n项积．最大.（14）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，点E是边BC的中点.动点P在直线1BDED1C1B1A1DCBADOCBA培优网（除1,BD两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是.（写出满足条件的所有顶点）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）函数π()cos(π)(0)2fxx的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出及图中0x的值；（Ⅱ）设1()()()3gxfxfx，求函数()gx在区间11[,]23上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为求数学期望EX；（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s，22s，试比较21s与22s的大小.（只需写出结论）X3210Pab31025x0yxO32培优网（17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，11AABB为正方形，11BBCC为菱形，11=60BBCo，平面11AABB平面11BBCC.（Ⅰ）求证：1BC1AC；（Ⅱ）设点,EF分别是11,BCAA的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）求二面角1BACC的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知椭圆22:143xyM，点1F，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点1F的直线l（不与x轴重合）交M于,AB两点.（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.（19）（本小题满分13分）已知函数()cossinfxaxxx，ππ[,]22x.（Ⅰ）判断函数()fx的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合{|()0}Axfx中元素的个数；（Ⅲ）当12a时，问函数()fx有多少个极值点？（只需写出结论）（20）（本小题满分14分）已知集合123{,,,,}(3)nSaaaanL，集合{(,)|,,}TxyxSySxy且满足：FECBC1B1A1A培优网(,1,2,3,,,),ijaaSijnijL(,)ijaaT与(,)jiaaT恰有一个成立.对于T定义1,(,),(,)0,(,),TabTdabbaT1211()(,)(,)(,)(,)(,)TiTiTiTiiTiiTinladaadaadaadaadaa（1,2,3,,inL）.（Ⅰ）若4n，123224(,),(,),(,)aaaaaaT，求2()Tla的值及4()Tla的最大值；（Ⅱ）从12(),(),,()TTTnlalala中任意删去两个数，记剩下的2n个数的和为M.求证：1(5)32Mnn；（Ⅲ）对于满足()1Tilan（1,2,3,,inL）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素,,efg，使得(,)(,)(,)3TTTdefdfgdge恒成立，并说明理由.培优网海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）23（11）3（12）2π3（13）13；4（14）11,,ABD三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）的值是π6.………………2分0x的值是53.………………5分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sinπ3362fxxxx.………………7分所以1π()()cos(π)sinπ36fxfxxxππcosπcossinπsinsinπ66xxx………………8分31cosπsinπsinπ22xxx33πcosπsinπ3cos(π)223xxx.………………10分因为11[,]23x，培优网.所以当ππ03x，即13x时，()gx取得最大值3；当π2ππ33x，即13x时，()gx取得最小值32.………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350，女同学的人数为520250.………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10AAPXA.………………6分因为321105ab，所以15b.………………8分所以113232101105105EX.………………10分（Ⅲ）2212ss.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）连接1BC.在正方形11ABBA中，1ABBB^.培优网平面11BBCC，平面11AABBI平面111BBCCBB，ABÌ平面11ABBA，所以AB^平面11BBCC.………………1分因为1BCÌ平面11BBCC，所以1ABBC^.………………2分在菱形11BBCC中，11BCBC^.因为1BCÌ平面1ABC，ABÌ平面1ABC，1BCABBI=，所以1BC^平面1ABC.………………4分因为1ACÌ平面1ABC，所以1BC1AC.………………5分（Ⅱ）EF∥平面ABC，理由如下：………………6分取BC的中点G，连接,GEGA.因为E是1BC的中点，所以GE∥1BB，且GE112BB=.因为F是1AA的中点，所以AF112AA=.在正方形11ABBA中，1AA∥1BB，1AA1BB=.所以GE∥AF，且GEAF=.CBC1B1A1AGFECBC1B1A1A培优网∥GA.………………8分因为EFË平面ABC，GAÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.………………9分（Ⅲ）在平面11BBCC内过点B作1BzBB^.由（Ⅰ）可知：AB^平面11BBCC.以点B为坐标原点，分别以1,BABB所在的直线为,xy轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设(2,0,0)A，则1(0,2,0)B.在菱形11BBCC中，11=60BBCo，所以(0,1,3)C，1(0,1,3)C.设平面1ACC的一个法向量为(,,1)xyn.因为10,0ACCCuuuruuuurnn即(,,1)(2,1,3)0,(,,1)(0,2,0)0,xyxy所以3,20,xy即3(,0,1)2n.………………11分由（Ⅰ）可知：1CBuuur是平面1ABC的一个法向量.………………12分所以1113(,0,1)(0,3,3)72cos,731934CBCBCBuuuruuuruuurnnn.zyxFECBC1B1A1A培优网的余弦值为77.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143xy得：2,3ab.所以椭圆M的短轴长为23.………………2分因为221cab，所以12cea，即M的离心率为12.………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)CF，设000(,)(22)Bxyx，则2200143xy.………………7分因为10000(1,)(2,)BFBCxyxyuuuruuur2200023xxy………………9分20013504xx，………………11分所以π(0,)2B.所以点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上.………………13培优网分另解：由题意可设直