北京市西城区2015届高三上学期期末练习数学理试题含答案

培优网：报名电话：82618899第1页共13页北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A，2{|2}Bxxx，则集合ABI（）（A）{1,0,1}（B）{1,0}（C）{0,1}（D）{1,1}3．在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2ab，3sin4B，则（）（A）3A（B）6A（C）3sin3A（D）2sin3A4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）（A）4（B）5（C）6（D）72．设命题p：平面向量a和b，||||||abab，则p为（）（A）平面向量a和b，||||||≥abab（B）平面向量a和b，||||||abab（C）平面向量a和b，||||||abab（D）平面向量a和b，||||||≥ababa=2，x=3开始xyax=x+1103yx输出x结束否是培优网：报名电话：82618899第2页共13页5．设函数()3cosfxxbx，xR，则“0b”是“函数()fx为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8.设D为不等式组1,21,21xyxyxy≤≥≤表示的平面区域，点(,)Bab为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点(,)Axy，都有1OAOBuuuruuur≤成立，则ab的最大值等于（）（A）2（B）1（C）0（D）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A）最长棱的棱长为6（B）最长棱的棱长为3（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D）侧面四个三角形都是直角三角形7.已知抛物线2:4Cyx，点(,0)Pm，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得90OQP?o，则实数m的取值范围是（）（A）(4,8)（B）(4,)+?（C）(0,4)（D）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图2211111培优网：报名电话：82618899第3页共13页第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数2i12iz，则||z_____．10．设12,FF为双曲线C：2221(0)16xyaa的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果12||||4PFPF，那么双曲线C的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么xyz______．12．如图，在ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且2ACAE，那么AFAB____；A_____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______.（用数字作答）14.设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．2x3ya321258zEFCBA培优网：报名电话：82618899第4页共13页15．（本小题满分13分）已知函数()23sincoscos442xxxfx,x∈R的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求BAOtan的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838（2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q（Ⅰ）当14p=时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p=，16q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）AxBOy培优网：报名电话：82618899第5页共13页如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD，90BADo，BCAD//，且122AAABADBC，点E在棱AB上，平面1AEC与棱11CD相交于点F.（Ⅰ）证明：1AF∥平面1BCE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角1AECD的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11BAEF的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)fxaxbxa和()lngxx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e，求,ab的值；（Ⅱ）已知ab，求切点P的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C：2211612xy的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点(,0)(4)Pmm满足条件||||FAeAP.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为1S，2S，求证：12||||SPMSPN.BCDAB1C1EFA1D1培优网：报名电话：82618899第6页共13页20．（本小题满分13分）设函数()(9)fxxx，对于任意给定的m位自然数0121mmnaaaaL（其中1a是个位数字，2a是十位数字，L），定义变换A：012()()()()mAnfafafaL.并规定(0)0A．记10()nAn，21()nAn，L，1()kknAn，L．（Ⅰ）若02015n，求2015n；（Ⅱ）当3m时，证明：对于任意的*()mmN位自然数n均有1()10mAn；（Ⅲ）如果*010(,3)mnmmN，写出mn的所有可能取值.（只需写出结论）培优网：报名电话：82618899第7页共13页北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C2．D3．A4．C5．C6．D7．B8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．110．221416xy511．17412．12π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()23sincoscos442xxxfx3sincos22xx………………2分=π2sin()26x，………………4分所以2π4π12T.故函数()fx的最小正周期为4π.………………6分由题意，得πππ2π2π2262xkk≤≤，解得4π2π4π4π+33kxk≤≤，所以函数()fx的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33kkkZ.……………9分（Ⅱ）解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C.由题意，得33π4TAC，2BC，所以2tan3πBCBAOAC.AxOCBy培优网：报名电话：82618899第8页共13页…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p+13+q=1.………………2分又因为14p=，所以q=512．………………3分（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，………………4分则CABABAB=UU，且A，B独立.由上表可知，1()2PA=，()PBp=.所以()()()()PCPABPABPAB=++………………5分111(1)222ppp=?+??1122p=+.………………6分因为114()225PCp=+，所以35p.………………7分又因为113pq++=，0q≥，所以23p≤.所以3253p≤.………………8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X402P121838培优网：报名电话：82618899第9页共13页BCA1D1DAB1C1EFxyzM……………9分则113540(2)2884EX.……………10分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y201P121316……………11分则111520(1)2366EY.……………12分因为EXEY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111DCBAABCD是棱柱，所以平面ABCD∥平面1111ABCD.又因为平面ABCDI平面1AECFEC，平面1111ABCDI平面11AECFAF，所以1AF∥EC.…………………2分又因为1AF平面1BCE，EC平面1BCE，所以1AF∥平面1BCE.…………………4分（Ⅱ）解：因为1AA底面ABCD，90BADo，所以1AA，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，1AA分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系.…………………5分则1(0,0,2)A，(1,0,0)E，(2,1,0)C，所以1(1,0,2)AEuuur,1(2,1,2)ACuuur.培优网：报名电话：82618899第10页共13页设平面1AECF的法向量为(,,),mxyzur由10AEmuuurur，10ACmuuurur,得20,220.xzxyz令1z,得(2,2,1)mur.…………………7分又因为平面DEC的法向量为(0,0,1)nr，…………………8分所以1cos,3||||mnmnmnurrurrurr，由图可知，二面角1AECD的平面角为锐角，所以二面角1AECD的余弦值为13.…………………10分（Ⅲ）解：过点F作11FMAB于点M,因为平面11AABB平面1111ABCD，FM平面1111ABCD,所以FM平面11AABB,所以11111113BAEFFBAEABEVVSFM…………………12分1222323FMFM.因为当F与点1D重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点1D重合时，三棱锥11BAEF的体积的最大值为43.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1eeeabf错误！未找到引用源。，…………………1分且()2fxaxb错误！未找到引用源。，1()gxx，…………………3分由已知，得错误！未找到引用源。11()()eefg，即2eeab，培优网：报名电话：82618899第11页共13页解得22ea错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。3eb.…………………5分（Ⅱ