北大附中2004年高一下学期数学期末测试题

北大附中2004年高一下学期数学期末测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）：（1）下列说法中，正确的是（）A．第二象限的角是钝角．B．第三象限的角必大于第二象限的角C．831是第二象限角D．'''40264409842095，，是终边相同的角（2）下列四个等式中，①cos（360°＋300°）＝cos300°；②cos（180°-300°）=cos300°；③cos（180°+300°）=-cos300°；④cos（360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（3）已知=（0，1）、＝（0，3），把向量绕点A逆时针旋转90°得到向量，则向量等于（）．A．（-2，1）B．（-2，0）C．（3，4）D．（3，1）（4）对于函数2tanxy，下列判断正确的是（）．A．周期为π2的奇函数B．周期为2π的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为π2的偶函数（5）若23)2πsin(x，且2ππx，则x等于（）．A．π34B．π67C．π35D．π611（6）在ABC中，若Cbacos2，则ABC一定是（）．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形（7）将函数412xxy的图象按向量平移后的图象的解析式为2xy，则等于（）．A．)2121(，B．)2121(，C．)2121(，D．)2121(，（8）已知=（-2，-3）、ON＝（1，1），点)21(，xP在线段MN的中垂线上，则x等于（）．A．25B．23C．27D．3（9）已知｜｜＝3，b＝（1，2），且∥，则的坐标为（）．A．)556553(，B．)556553(，C．)556553(，D．)556553(，（10）在下列各区间中，函数xxycossin的单调递增区间是（）．A．π2π，B．4π0，C．0π，D．2π4π，（11）设是第三象限角，且2cos2cos，则2所在象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（12）函数)2π25sin(xy的图象的一条对称轴的方程是（）．A．2πxB．4πxC．8πxD．π45x二、填空题（每小题4分，共16分）：（13）已知点A分所成的比为31，则点B分所成的比为________．（14）70cos470tan1的值是________．（15）已知)sin()(xAxf在同一个周期内，当3πx时，)(xf取得最大值为2，当0x时，)(xf取得最小值为2，则函数)(xf的一个表达式为_______．（16）已知||＝4，||=2，|-2｜＝2，与的夹角为，则cos等于________．三、解答题：（17）（10分）已知31)3πtan(、41)tan(，求)3πtan(的值．（18）（12分）求与向量＝（3，-1）和＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．（19）（12分）已知)sin(＝1，求证：sin)2sin(．（20）（12分）已知｜｜＝1，｜｜＝2，与的夹角为3π．（Ⅰ）求·；（Ⅱ）向量＋与向量-的夹角为钝角，求实数的取值范围．（21）（14分）已知函数1cossin23cos212xxxy，Rx．（Ⅰ）当函数y取得最小值时，求自变量x的集合．（Ⅱ）该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（22）（14分）如图，某观测站C在城A的南偏西20方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40，在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一辆正沿着公路向城A驶去，行驶了20千米后到达D处，测得C、D二处间距离为21千米，这时此车距城A多少千米？参考答案一、（1）D．（2）C．①、③、④正确．（3）A．)20(，，=（-2，0），＝＋＝（-2，1）．（4）A．π221πT．)2tan(x=2tanx．（5）B．23cos)2πsin(xx，)π23π(，x，π676ππx．（6）B．∵acbaabcbaba22222222，∴2222cbaa，∴22bc．（7）C．412xxy化为2)21(21xy，令x'x21，y'y21，∴21h，21k．＝)2121(，．（8）A．)32(，M，)11(，N，中点为)121(，Q．＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4），)2321()121()21(，，，xx．∵，∴0234)21(3x，∴25x．（9）C．设)sin3cos3(，，则0sin3cos32，∴,2tan为第一、三象限角，求出sin、cos，也可用试值法，代入检验．（10）B．)4πsin(2cossinxxxy，作出图象加以判断．（11）B．是第三象限角，则2是第二或第四象限角．由02cos，故2是第二象限角．（12）A．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得y取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为xycos，逐一代入检验，选A．二、（13）由已知得B是的内分点，且2||＝||，故B分的比为21．（14）70sin70cos70sin470cos70cos470sin70cos70cos470tan1＝70sin)3070sin(270cos70sin40sin270cos70sin140sin270cos＝70sin30sin70cos230cos70sin270cos＝70sin30cos70sin2＝30cos23．（15）由已知易得π32,03π2,2TTA，∴3，2πsin1)3π3sin(，令2ππ，则2π，∴)2π3sin(2)(xxf（答案不唯一）．（16）｜-2｜2＝（-2）2＝（）2-4·＋4（）2＝42-442·87cos,2cos323224cos22．三、（17）)3πtan(＝)()3π(tana)tan()3πtan(1)tan()3π(tan＝131413114131．（18）设所求向量的坐标为),(yx，由已知得422yx，设),(yx与的夹角为，故cos102cos)1()3()3()13()(2222yxyxyx，，，cos1023yx，同理1023cosyx，故10231023yxyx．∴yx2．代入422yx中，解得5521y，5522y．∴5541x，5542x．∴所求向量为)552554(，或)552554(，．（19）由1)sin(，得0)cos(，故])sin[()2sin(acossin)cos(cos)sin(．又由1)sin(，得)(2ππ2Nkk，所以2ππ2k，则)2πcos()2ππ2cos(cosksin．于是sin)2sin(．（20）（Ⅰ）·＝1；（Ⅱ）（＋）·（-）＝（）2＋（2-1）·-（）2＝＋2-1-4＝2-3-1．因为＋与-的夹角为钝角，所以（＋）·（-）＜0，令0132，得21332133．（21）（Ⅰ）4341)1cos2(411cossin23cos2122xxxxy)cossin2(xx1＝45)6πcos2sin6πsin2(cos21452sin432cos41xxxx)6π2sin(21x45，取得最小值必须且只需π22π36π2kx，即)π32πZkkx，．所以当函数y取得最小值时，自变量x的集合为}Zπ32π|{kkxx，．（Ⅱ）将函数xysin依次进行如下变换：①把函数xysin的图象向左平移6π，得到函数)6πsin(xy的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)6π2sin(xy的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)6π2sin(21xy图象；④把所得的图象向上平移45个单位长度，得到函数45)6π2sin(21xy的图象．即得到函数1cossin23cos212xxxy的图象．（22）在BCD中，21CD，20BD，31BC，由余弦定理得,7120212312021cos222BDC所以774cos1sin2BDCBDC．在ACD中，CD＝21，)60sin(sin604020BDCACDCAD，143560sin60cossinBDCBDC．由正弦定理得CADACDCDADsinsin1523143521（千米）．所以此车距城A有15千米．