北大附中高一年级下学期数学期中考试班级:______姓名:______成绩:_______一、选择题:在下列各题的四个被选答案中,只有一个是正确的,请你将正确答案前的字母添在答题卡中。(每题3分,共36分)1.求值)617()49sin()5sec()314(ctgtg()(A)66332(B)2632(C)2632(D)663322.把曲线y=sinx向右平移4个单位,再把各点横坐标缩短到原来的31,所得的图像的函数式是()(A))43sin(xy(B))433sin(xy(C))43sin(xy(D))433sin(xy3.函数y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,当12x时,有最大值23,当127x时,有最小值-23,则函数的解析式为()。(A))32sin(32xy(B))3sin(32xy(C))32sin(23xy(D))3sin(23xy4.当x时,使函数)42cos(21xy取得最大值的x的集合是()(A)8(B)8,87(C)2,2(D)以上答案都不正确5.已知3101lg)180sin(,则)270(tg的值是()(A)22和22(B)42和42(C)22(D)426.如果35coslog611coslogaa成立,则a的取值范围是()(A)a=10(B)a1(C)0a1(D)a27.如图,是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可以写成()。(A)sin(1-x)(B)cos(1-x)(C)sin(x-1)(D)cos(x-1)8.已知正四棱柱1111DCBAABCD底面边长为1,侧棱长为2,E为1BB的中点,则异面直线1AD与EA1所成角的余弦值为()(A)52(B)1010(C)510(D)09.正四棱台的上底面面积为2,中截面面积为4,则下底边长为()(A)6(B)22(C)24(D)2310.正四棱台的两个相邻侧面所成的二面角的平面角一定是()(A)锐角(B)直角(C)钝角(D)不能确定11.正六棱柱底面边长为2,最长的一条对角线长为52,则它的全面积为()(A))433(4(B))23(12(C))132(12(D))83(312.正四面体ABCD的棱长为a,E、F、G分别是棱AB、AC、CD的中点,截面EFG交棱BD于H,则点A到截面EFGH的距离是()(A)a21(B)a22(C)a41(D)a42二、填空题(每空3分,共12分)13.一个正六棱台的斜高为cm33,两底面边长差为10cm,它的全面积为23480cm,那么它的两底面边长分别为_________。14.若函数f(x)是周期为5的偶数,且f(2)=-3,则]3)7(cos[f的值是_________,]4)12(3sin[f的值是_________.15.函数ctgxtgxxxxxy2cos2cossinsin的定义域是_______,值域是__________。16.如图所示的几何体,是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截得的图形可能是图①②③④中的________(把可能的图的序号都填号)三、解答题:17.已知33)6cos(a,求)6(sin)65cos(2aa的值。18.求证:cscseccossin44ctgtg19.已知1seccossinsin2222CABA,求证:CtgBAtg222cos20.平行四边形ABCD中,∠A=60°,AD=a,AB=2a,,M、N分别是CD、AB的中点,以MN为轴,将四边形ADMN沿MN翻折,当二面角A—MN—B为60°时,求三棱柱ABN—CDM的侧面积。21.作出函数21)32sin(23xy的简图,并说明它是由正弦曲线y=sinx经过怎样的变化而得到的。22.已知关于x的方程0)13(22mxx的两根为sin和cos,)2,0(。求(1)tgctg1cos1sin的值;(2)m的值;(3)方程的两个根及此时的θ值。23.如图,在直三棱柱111CBAABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,21AA,D是11BA中点,过D作BADE1,垂足为E。(1)求证:BAEC11;(2)平面ABC与平面11BCA所成二面角的正切值;(3)求点1B到平面11BCA的距离。北大附中高一年级下学期数学期中考试参考答案一、1.B2.A3.C4.B5.A6.C7.A8.C9.C10.C11.B12.D二、13.4,1414.21,22。15.zkRxkxx,,41|3,3,1,116.①、③、④三、17.解∵656∴)6(65∴原式)6(sin)]6(cos[2)]6(cos1[)6cos(2)6(cos1)6cos(23323113318.证:左边)cos)(sincos(sinsincoscossin2222右边cscseccossin1cossinsincoscossin2222∴原等式成立19.证:由1seccossinsin2222CABA得1)1(cossinsin2222CtgABA两边同除以A2cos(0cos2A,0cos2A时此题不考虑)得AACtgBAA222222seccos11sincossin,∴1secsin2222ACtgBAtgAtgCtgBAtg2222sin,∴BAtgAtgCtg2222sin∴BAtgBAtgCtg22222cos)sin1(原等式成立。20.解:在平行四边形ABCD中,连结BD交MN于O。连接DN,BM,∵AB=2AD,∴AD=AN。又∠A=60°∴△AND为正三角形∴DN=AD=BN,∴BNDM为菱形。∴BD⊥MN,折叠后,必有BO⊥MN,DO⊥MN,∴∠DOB为二面角A-MN-B的平面角,∴∠BOD=60°在△ODM中∠DOM=90°,DM=a,∠DMO=60°∴OBaDO23。∴在正三角形OBD中,aBO23又MN⊥平面OBD,∴MN⊥BD,而MNBC//,∴BC⊥BD,∠DBC=90°。BC=a∴24321aBCBDSDBC,∴2232aSSBDCABCD。∴2360sinaABADSSSABCDBMNCANMD∴222233233aaaS侧21.x61251281211121432x02π232πy21221-121把曲线y=sinx上各点的横坐标压缩到原来的21,然后把曲线向右平移6,再把各点的纵坐标扩大到原来的23倍,最后把曲线向上平移21个单位,得21)32sin(23xy图象22.解:由已知得2cossin213cossinm(1)原式sincoscoscossinsin22213cossincossincossin22(2)∵4324)sin(cos2,∴232cossin21即232221m∴23m。(3)当23m时,原方程为023)13(22xx即03)13(242xx,即211x或232x∴21cos23sin或23cos21sin∵θ∈(0,2π)∴3或623.(1)证:在直棱柱111CBAABC中,∵AC=BC,∴CBCA111,连DC1,∵D是11BA中点。∴111BADC,又∵平面111CBA平面BBAA11,∴DC1平面BBAA11,于是DE是EC1在平面BBAA11上的射影,又∵BADE1,∴BAEC11。(2)∵上、下底面平行,∴平面ABC与平面11BCA所成的二面角就是二面角111BCAB∵1BB底面111CBA,1111CACB。∴111CABC,于是11BBC即为所求二面角的平面角。在CBBRt1中,211111CBBBBBCtg。(3)作11BCFB垂足为F,∵11CA平面CCBB11,∴FBCA111。又∵11BCFB,∴FB1平面11BCA∴FB1的长,即为点1B到平面11BCA的距离。在CBBRt1中,51BC,∴5521FB,∴点1B到平面11BCA的距离为552。