北大附中高二第二学期数学期中考试

北大附中高二第二学期数学期中考试______班姓名：________一、选择题：（30分）1．若用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则A．C=R∪IB．R∩I={0}C．ICRD．R∩I=ф2．已知x、y是复数，（1）若022yx，则x=y=0，（2）若xy=0，则x=0或y=0（3）22||xx，（4）若xx则x是纯虚数。上面的命题中正确的命题的个数是A．0B．1C．2D．33．若ab0则11221limnnnnnnnababbabaaA．ba1B．babC．baaD．ba14．某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：A．当n=101时该命题不成立B．当n=101时该命题成立C．当n=99时该命题不成立D．当n=99时该命题成立5．复数iii31)1(22等于A．i31B．i31C．i31D．i316．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是A．)1(82xyB．)1(82xyC．)1(82xyD．)1(82xy7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是A．23B．0.5C．0.25D．228．设双曲线C：1322yx的左准线与x轴交点是M，则过M与双曲线C有且只有一个交点的直线共有A．2条B．3条C．4条D．无数条9．过抛物线)0(22ppxy的焦点做直线交抛物线与),(11yxA，),(22yxB两点，若pxx321则|AB|等于：A．2pB．4pC．6pD．8p10．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为15422yx，则曲线C的焦点坐标为：A．（6，1），（0，-1）B．（-6，1）（0，1）C．（-3，2），（-3，-4）D．（3，2），（3，-4）二、填空题：（32分）11．椭圆：9322yx的离心率e=_______，准线方程：________.12．复数33254321iiii的实部是______，虚部是______.13．已知等比数列na中，9321aaa，3654aaa，nnaaaaS321，则nnSlim等于_________。14．计算：__________________|43|)23()31()1()1(484iiiii。15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过)12,25(A，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：___________16．已知方程|z-2|-|z+2|=a表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a的值为：________17．已知|z|=2，则当z=_________时，有|z+5i|的最大值等于___________18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米）三．过程题：19．（6分）求满足下列条件的复数z：izz632||20．（8分）过抛物线xy42的焦点，且倾斜角为43的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，求△OPQ的面积。21．（12分）已知数列na满足：21a，32a,nnnaaa2312（n∈N）（1）计算3a、4a、5a，猜想数列na的通项公式；用数学归纳法给出证明。（2）比较na与2n的大小，证明得到的结论。22．（12分）设双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线xy3382相同，直线a：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，（1）求双曲线C的方程；（2）k为何值时，以AB为直径的圆过原点；（3）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=mx对称(m为常数)？若存在求出k；若不存在说明理由。北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案一．1.D2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.C9.B10.B二．11．36，263y12．-2，313．42714．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/515．11442522yx16．2217．2i718．2.6三．19．解设z=x+yi,x,y∈R623222yxyx解得：)(403舍或xxy所求复数为：z=3i20．解：（1）计算得：53a、94a、175a；(1分)猜想na的通项公式为：121nna其中n∈N下面用数学归纳法给出证明：直接验算知21a，32a,满足121nna。假设n=k和n=k+1时猜想成立，即121kka；121kka；kkkaaakn23:2121212)12(2)12(31)2(11kkkk猜想也成立，由数学归纳法知：na的通项公式是121nna其中n∈N（2）2112a，2223a，2335a、2449a、25517a，26633a、27765a、当n≥7有，2nan成立，(1分)下面证明这一结论：n=7时已验证命题成立：假设n=k（≥7）时有2kak成立，n=k+1时：221)1(121212kkaakkk，这是因为k≥7时，03)1()1(12222kkk命题也成立，由数学归纳法知：对n≥7得自然数，有2nan成立。(5分)综上所述：当n=1或n≥7时：2nan；当使：2≤n≤6时，2nan。(6分)21．解：抛物线xy42的焦点为F（1，0），过F点倾斜角为43的直线方程设为y=-(x-1)与xy42联立。可以求得|PQ|=8。坐标原点O到直线y=-(x-1)的距离为△OPQ的高，其数值为22，故所求△OPQ的面积为2282221OPQS（面积单位）。22．略解：（1）所求双曲线C的方程：1322yx（2）1322yx……①与直线a：y=kx+1……②联立得：022)3(22kxxk……③△0得6||k……④设),(11yxA，),(22yxB，要使以AB为直径的圆过原点，就要OA⊥OB，也即：01)(21212212121xxkxxkxxyyxx利用③和韦达定理，得12k，k=±1这个结果也满足条件④。（3）若双曲线C上存在A、B关于直线y=mx对称，则mkkAB/1，⑤AB的中点2/)(21xxM，12/)(21xxk应在直线y=mx上，于是：2/)(12/)(2121xxmxxk……⑥再由③)3/(2/)(221kkxx代入⑥：)3/()3/(322kmkk。得到k=3/m这与⑤矛盾。故所求k不存在。