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2018-2019学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.设命题p：∀x∈R，ex≥x+1，则￢p为（）A.∀x∈R，ex＜x+1B.∃x0∈R，ex0＜x0+1C.∃x0∈R，ex0≤x0+1D.∃x∈R，ex0≥x0+12.若椭圆C：=1的右焦点坐标是（1，0），长轴长是4，则椭圆的标准方程为（）A.=1B.=1C.D.=13.曲线=1的虚轴长是（）A.2B.2C.4D.44.若原命题是“若x=-1，则x2-x-2=0”则它逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5.为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A.5，10，15，20，25B.2，4，8，16，32C.1，2，3，4，5D.8，18，28，38，486.执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（）A.12B.6C.3D.07.设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件8.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则P到（0，2）的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）A.3B.4C.D.9.在区间[0，4]内随机取出两个数x，y，则2≤x+y≤4的概率是（）A.B.C.D.10.设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A.9，12B.8，11C.8，12D.10，1211.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，则实数m的取值范围是（）A.（1，2]∪[3，+∞）B.（1，2）∪（3，+∞）C.（1，2]D.[3，+∞）12.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的在焦点为F，若双曲线上存在点P，使得线段PF的中点Q仍在双曲线上，则该双曲线离心率e的取值范围是（）A.（1，2]B.（1，3]C.[2，+∞）D.[3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.把二进制数11011（2）化为十进制数是______．14.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是______．15.已知双曲线过点（4，-），且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为______．16.已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.袋中有2个红球A和B，3个白球a、b和c，摸出一个红球得5分，摸出一个白得4分，现从中任意摸出2个球，求事件“所得分数大于8分”的概率．18.已知某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用（万元）的统计资料料如下：x23456y2.23.85.56.57.0（1）求出回归直线方程：（2）若维修费用是12.38万元，试估计设备的使用年限是多少？公式：=，=-．19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．（I）求曲线C1的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P，Q分别在曲线C1、C2上，求|PQ|的取值范围．20.从参加某次数学考试的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的概率分布直方图如下（60分及以上为及格），请回答下列问题：（1）估计这次数学考试的及格率；（2）根据频率分布直方图给出这次数学考试成绩情况的一个评价．21.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）点A（-a，a）（a＞0）在抛物线C上，是否存在直线l：y=kx+4与抛物线C交于点M，N，使得△MAN是以MN为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形ABCD面积的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，ex≥x+1，则￢p为∃x0∈R，ex0＜x0+1，故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由题设知：2a=4，c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为，故选：A．由题设知：2a=4，c=1，b2=a2-c2=3，即可求椭圆方程．本题考查了椭圆的方程，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：双曲线=1的a=2，b=2，即有2b=4，可得双曲线的虚轴长为4．故选：C．求得双曲线的b，由虚轴长2b，即可得到所求长．本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由x2-x-2=0得x=-1或x=2，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题饿、为若x2-x-2=0，则x=-1为假命题．，则命题的否命题为假命题，故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1个，故选：B．根据逆否命题的等价性判断原命题和逆命题的真假即可．本题主要考查四种命题真假关系的判断，利用逆否命题的等价性是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】解：样本间隔为50÷5=10，A的间隔是5，B的间隔不相同，C的间隔是1，D的间隔是10，故选：D．根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，输入m=72，n=30，第一次循环：72÷30=2…12，第二次循环：30÷12=2…6，第三次循环：12÷6=2…0，∴n=6．故选：B．先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后r的值找出规律，从而得出所求．本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞2，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B．利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础．8.【答案】C【解析】解：由题得：如图：依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为：|PA″|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，2）的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，2）的距离与P到焦点F的距离之和．9.【答案】B【解析】解：由已知有：在区间[0，4]内随机取出两个数x，y，结合几何概型中的面积型：则2≤x+y≤4的概率是：==，故选：B．先作出x，y∈[0，4]，2≤x+y≤4所表示的平面区域，再结合几何概型中的面积型求面积之比即可．本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．10.【答案】C【解析】解：∵两圆圆心F1（-4，0），F2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min=|PF1|+|PF2|-2r=10-2=8．（|PM|+|PN|）max=|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．故选：C．圆外一点P到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|-r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心M，N，直线PM，PN与两圆各交于两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|-两圆半径之和．本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用．11.【答案】A【解析】解：若p真，则，解得：m＞2；若q真，则△=[4（m-2）]2-16＜0，解得：1＜m＜3；∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假，当p真q假，解得m≥3；当p假q真，解得1＜m≤2．综上所述，1＜m≤2或m≥3；故选：A．若p真，，若q真，△=[4（m-2）]2-16＜0，由题意可知，p与q一真一假，分类讨论即可．本题考查复合命题的真假，求得p真，q真的m的范围是关键，突出考查分类讨论思想与化归思想，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如右图，设|PF'|=t，由双曲线的定义可得|PF|=2a+t，由Q为PF的中点，可得|OQ|=，|QF|=a+，|QF'|=3a+，在三角形QFF'中，OQ为中线，由余弦定理可得cos∠FOQ+cos∠F'OQ=+=0，化简可得c2=5a2+2at，由t≥c-a，可得c2-5a2≥2a（c-a），即为c2-3a2-2ac≥0，即有e2-2e-3≥0，解得e≥3．故选：D．设|PF'|=t，由双曲线的定义可得|PF|=2a+t，运用中位线定理和双曲线的定义，结合余弦定理，化简可得c2=5a2+2at，由t≥c-a，结合离心率公式和二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.【答案】27【解析】解：11011（2）=1×20+1×21+0×22+1×23+1×24=27，故答案为：27．把二进制数转化为十进制数，只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．此题主要考查了二进制数与十进制数互化的方法，属于基础题．14.【答案】91.5【解析】解：由茎叶图可知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序为：87，89，90，91，92，93，94，96．出现在中间两位的数据是91，92．所以样本的中位数是（91+92）÷2=91.5，故答案为：91.5由茎叶图可知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序排好后取中间两数的平均值即可．本题考查茎叶图，中位数，本题解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数字还是奇数个数字，选择出中位数．15.【答案】-y2=1【解析】解：渐近线方程为y=±x，可设双曲线的方程为y2-=m（m≠0），代入点（4，-），可得3-=m，即m=-1，可得双曲线的标准方程为-y2=1．故答案为：-y2=1．由渐近线方程可设双曲线的方程为y2-=m（m≠0），代入点（4，-），解得m，即可得到所求双曲线的标准方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程设出双曲线方程，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】[，]【解析】解：设P（m，n），∵•=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2=2c2，∴m2+n2=3c2，n2=3c2-m2，①将P（m，n）代入椭圆+=1得：b2m2+a2n2=a2b2，②把①代入②得：m2=≥0，∴a2b2≤3a2c2，∴b2≤3c2，a2-c2≤3c2，∴≥，又∵m2≤a2，∴≤a2，∴a2-3c2≥0，∴≤，综上，≤≤，故答案为：[，]．设P（m，n），通过•=2c2，将P（m，n）代入椭