1吉林省实验中学2012—2013学年度下学期期末考试高二数学理试题一、选择题(每题5分,共60分)1.若集合{|||1,}AxxxR,集合{|0,},ABxxxRB则=()A.{|10,}xxxRB.{|0,}xxxRC.{|01,}xxxRD.{|1,}xxxR2.下列各函数中值域为),0(的是()A.113xyB.xy21C.12xxyD.22xy3.若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A.2,23B.22,2C.4,2D.2,44.已知实数,ab,则“22ab”是“22loglogab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.运行右图所示的程序框图.若输入4x,则输出y的值为()A.49B.25C.13D.76.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.32B.14C.5D.67.若直线220(0,0)axbyab经过圆222410xyxy的圆心,则ba11的最小值是()A.21B.41C.4D.2223正视图侧视图俯视图否开始结束||8xy21yx输出y是xy输入x28.在△ABC中,bcacbcba3))((,则sinA=()A.23B.23C.23D.219.定义在R上的函数)(xf是偶函数,且)1()1(xfxf,若]1,0[x时,2)(xxf,则)3(f的值为()A.-1B.3C.1D.-310.△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA→+4OB→+5OC→=0→,则△AOB的面积=()A.103B.52C.1D.2111.已知A,B,C,D,E是函数xysin>0,0<<2一个周期内的图像上的五个点,如图所示,0,6A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该函数图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,CD在x轴上的投影为12,则,的值为()A.6,2B.3,2C.3,21D.12,2112.已知yfx为R上的可导函数,当0x时,'0fxfxx,则关于x的函数1gxfxx的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2二、填空题(每题5分,共20分)13.已知}{na为等差数列,若951aaa,则)cos(82aa的值为14.为了“城市品位、方便出行、促进发展”,长春市拟修建地铁,市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建地铁的市民占80%,在赞成修建地铁的市民中又按年龄分组,得样本频率分布直方图如图,其中年龄在20,30岁的有400人,40,50岁的有m人,则n=,m=203040506070岁频率/组距第15题图0.03500.0125315.已知)3,1(a,)1,1(b,bac,a和c的夹角是锐角,则实数的取值范围是.16.已知函数3()3,fxxxxR,若0,2时,不等式2(cos2)(4sin3)0ftf恒成立,则实数t的取值范围是.三解答题17.(12分)已知关于x的一元二次方程222(2)160xaxb.(Ⅰ)若ab、是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率;(Ⅱ)若[2,6],[0,4]ab,求方程没有实根的概率.18.(满分12分)已知圆C:034222yxyx。(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线方程;(2)从圆C外一点P(11,yx)向该圆引一条切线,切点为M且有POPM(O为原点),求使PM取得最小值时点P的坐标。19.(满分12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点.(1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平面BDE;(2)求证:平面BDE⊥平面SAC;(3)当二面角E-BD-C的大小为45°时,试判断点E在SC上的位置,并说明理由.420.(满分12分)数列na:满足2112,66().nnnaaaanN(Ⅰ)设5log(3)nnCa,求证nC是等比数列;(Ⅱ)求数列na的通项公式;(Ⅲ)设21166nnnnbaaa,数列nb的前n项和为nT,求证:51.164nT21.已知函数()ln(1),().1xfxxgxx(1)求()()()hxfxgx的单调区间;(2)求证:2()().fxxgx选考题(本小题满分10分)(请考生在22,23,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑)22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,ABC内接于⊙O,且AB=AC,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D。(I)求证:2;ACAPAD(II)若60ABC,⊙O的半径为1,且P为弧AC的中点,求AD的长。523.本题满分10分)选修4—4:坐标与参数方程已知直线的极坐标方程为224sin,圆M的参数方程为sin22cos2yx(其中为参数)(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆M上的点到直线的距离的最小值24.选修4—5:不等式选讲已知函数()|1|,()2||.fxxgxxa(1)当a=0时,解不等式()();fxgx(2)若存在,()()xRfxgx使得成立,求实数a的取值范围。6参考答案一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分)题号123456789101112答案ADDBBCCACDBC二.填空题(本大题共20小题,每小题5分,共计20分)13.2114.n=4000,m=112015.25且016.__1,2___.三、解答题17.(满分12分)解:(Ⅰ)基本事件(,)ab共有36个,方程有实根,方程有根等价于Δ≥0,(a-2)2+b2≥16.设“方程有两个实根”为事件A,则事件A包含的基本事件共36-14=22个,故所求的概率为18113622;……………6分(Ⅱ)试验的全部结果构成区域{(,)6,04}abab2≤≤≤≤,其面积为()16S设“方程无实根”为事件B,则构成事件B的区域为22{(,)6,04,(2)16}Bababab2≤≤≤≤,其面积为21()444SB故所求的概率为4()164PB………………12分18.(满分12分)解:(1)将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx,由直线与圆相切得|-k-2|k2+1=2,即k=2±6,从而切线方程为y=(2±6)x..……………………3分②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=0,由直线与圆相切得x+y+1=0,或x+y-3=0.∴所求切线的方程为y=(2±6)xx+y+1=0或x+y-3=0.……………………6分(2)由|PO|=|PM|得,x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2⇒2x1-4y1+3=0..…………8分即点P在直线l:2x-4y+3=0上,|PM|取最小值时即|OP|取得最小值,直线OP⊥l,∴直线OP的方程为2x+y=0..……………………10分7解方程组2x+y=02x-4y+3=0得P点坐标为-310,35..……………………12分19.(满分12分)证明:(Ⅰ)连接,由条件可得∥.因为平面,平面,所以∥平面.(Ⅱ)法一:证明:由已知可得,,是中点,所以,又因为四边形是正方形,所以.因为,所以.又因为,所以平面平面.-(Ⅱ)法二:证明:由(Ⅰ)知,.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥的底面边长为2,则,,,,,.所以,.设(),由已知可求得.所以,.设平面法向量为,则即令,得.8易知是平面的法向量.因为,所以,所以平面平面.-------------------8分(Ⅲ)解:设(),由(Ⅱ)可知,平面法向量为.因为,所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以,所以,解得.所以点是的中点.----------------12分20.(满分12分)解:(Ⅰ)由2166,nnnaaa得213(3).nnaa……………………2分515log(3)2log(3)nnaa,即12nnCC,……………………4分nC是以2为公比的等比数列……………………5分(Ⅱ)又15log51C12nnC即15log(3)2nna,……………………6分1235.nna故1253.nna……………………7分9(Ⅲ)211111,6666nnnnnnbaaaaa……………………9分2111111.66459nnnTaa……………………10分又221110,591659n51.164nT……………………12分21.(满分12分).解:(1)1,1)1ln()()()(xxxxxgxfxh,………………1分,)1()1(111)('22xxxxxh…………3分令)0,1()(,01,0)('在则得xhxxh上单调递减;令),0()(,0,0)('在则得xhxxh上单调递增。故增区间为),,0(减区间为(-1,0)……………………5分(2)222()()ln(1)1xfxxgxxx……………………6分令22()ln(1)1xFxxx2222)1()2()1ln()1(2)1(21)1(ln2)('xxxxxxxxxxxxF…………7分令),2()1ln()1(2)(2xxxxxG则,2)1ln(2)('xxxG令.12212)(',2)1ln(2)(xxxxHxxxH则当)(,0)(',01xHxHx则时在(-1,0)上单调递增;当),0()(,0)(',0在则时xHxHx上单调递减,故()(0)0,'()0,()(1,)HxHGxGx即则在上单调递减;…………9分当10x时,()(0)0GxG,即()0Fx,则()Fx在(-1,0)上单调递增;当,0)0()(,0GxGx时即),0()(,0)('在则xFxF上单调递减…………11分10故).()(,0)0()(2xxgxfFxF即…………12分22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲23.本题满分10分)选修4—4:坐标与参数方程解:(1)极点为直角坐标原点O,222sin()(sins)4222co,∴sincos1,可化为直角坐标方程:x+y-1=0.……………………5分(2)将圆的参数方程化为普通方程:22(2)4xy,圆心为C(0,-2),∴点C到直线的距离为021332222d,∴圆上的点到直线距离的最小值为3242。……………………5分24.本题满分10分)解:(1)由|x+1|≥2|x|,得x2+2x+1≥4x2,解得-13≤x≤1.所以不等式的解集是[-13,1].……………………10分(2)由题意可知,存在x∈R,使得|x+1|-2|x|≥a.令φ(x)=x1,x1,3x1,1x0,1x,x0.<<当x<-1时,φ(x)<-2;当-1≤x<0时,-2≤φ(x)<1;当x≥0时,φ(x)≤1.综上可得:φ(x)≤1,即a≤1.……………………10分11