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高考帮——帮你实现大学梦想！1/222016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离是（）A．B．9C．D．3．设z=x﹣y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A．﹣3B．C．D．4．设⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，则它们公切线的条数是（）A．1B．2C．3D．45．关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB．如果平面α与平面β不垂直也不重合，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线不垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β6．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2B．a=2或a=﹣1C．a=﹣1D．a=27．圆x2+y2﹣2x﹣5=0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y﹣1=0B．2x﹣y+1=0C．x﹣2y+1=0D．x﹣y+1=08．已知直线l1，l2的夹角平分线所在直线方程为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），那么l2的方程是（）A．bx+ay+c=0B．ax﹣by+c=0C．bx+ay﹣c=0D．bx﹣ay+c=09．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A．PM⊥△AEF所在平面B．AM⊥△PEF所在平面C．PF⊥△AEF所在平面D．AP⊥△PEF所在平面高考帮——帮你实现大学梦想！2/2210．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．11．方程=kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．D．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．4C．6D．4二、填空题（20分）13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为14．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1和点A（1，3），则过点A与圆M相切的直线方程是．15．已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．16．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD﹣A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：高考帮——帮你实现大学梦想！3/22（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（4）棱A′D′始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号．三、解答题（70分）17．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y=0和l2：x+y+2=0．（1）过点P（1，1）的直线l与l1垂直，求直线l的方程；（2）若圆M的圆心在直线l1上，与y轴相切，且被直线l2截得的弦长为，求圆M的方程．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D点为棱AB的中点．（1）求证：AC1∥平面B1CD；（2）若AB=AC=2，BC=BB1=2，求二面角B1﹣CD﹣B的余弦值；（3）若AC1，BA1，CB1两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．19．（12分）已知关于x的实系数方程x2+2ax+b=0在区间（0，1）和（1，2）内各有一根，求：（1）a2+b2的取值范围；（2）求|a+b﹣2|的取值范围．20．（12分）已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为，直线y=kx﹣1与点P的轨迹交于A，B两点．（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；（2）求实数k的取值范围；高考帮——帮你实现大学梦想！4/22（3）是否存在k使得•=11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，直线l：x+y+2=0上有一动点P，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点．（1）求当∠APB最大时，△PAB的面积；（2）试探究直线AB是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．22．（10分）在边长为a的正方形ABCD中，M，N分别为DA、BC上的点，且MN∥AB，连结AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角．（1）求证：无论MN怎样平行移动（保持MN∥AB），∠APC的大小不变并求出此定值；（2）当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？高考帮——帮你实现大学梦想！5/222016-2017学年四川省成都市新都一中高二（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离是（）A．B．9C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用．【分析】利用空间中两点间的距离公式直接求解．【解答】解：空间直角坐标中，点A（﹣3，4，0）与B（2，﹣1，6）间的距离：|AB|==．故选：A．【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．3．设z=x﹣y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为（）A．﹣3B．C．D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x﹣y的最小值．高考帮——帮你实现大学梦想！6/22【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令z=x﹣y，即显然当平行直线2x﹣y=z过点A（1，3）时z取得最小值为：﹣；故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．设⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，则它们公切线的条数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：⊙C1：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，圆心（5，3），半径为3；⊙C2：x2+y2﹣4x+2y﹣9=0，圆心（2，1），半径为；两圆圆心距离：=，所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条，故选：B．【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．5．关于两平面垂直有下列命题，其中错误的是（）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB．如果平面α与平面β不垂直也不重合，那么平面α内一定存在直线平行于平面β高考帮——帮你实现大学梦想！7/22C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线不垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题逐一分析、判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明即可．【解答】解：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，因为α⊥γ，则α与γ必相交，设a是α与γ的交线，又，β⊥γ，则β与γ必相交，设其交线ba属于γ，b属于γ，则a、b在同一个平面内，a与b不平行就相交；假设a∥b，因为直线a和直线b分别属于α和β平面，则α∥β．这与已知α∩β=l相矛盾，所以a和b必相交，同理可以证明三条直线a、b、l相交，其交点O同属于α、β和γ，O点必在l上．因为α⊥γ，β⊥γ，则a⊥l，b⊥l，所以l⊥γ，故A正确；平面α⊥平面β，不妨设α∩β=a，作直线b∥a，且b⊂α，则b∥β，命题B，C正确；命题如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，此垂线必垂直于β，错误．如果点取在交线上则没有垂线，故D错误．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及平面与平面之间的位置关系，是中档题．6．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）A．a=1或a=﹣2B．a=2或a=﹣1C．a=﹣1D．a=2【考点】二元二次方程表示圆的条件．【专题】计算题．【分析】由二次项额系数相等不等于0，且化为一般式后满足D2+E2﹣4F＞0联立求解a的取值范围．【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=﹣1．故选C．【点评】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，解答的关键是充分理解圆的一般式方程，是基础题．高考帮——帮你实现大学梦想！8/227．（2015秋•顺德区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣5=0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y﹣1=0B．2x﹣y+1=0C．x﹣2y+1=0D．x﹣y+1=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．【专题】计算题；函数思想；转化思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：，即：x+y﹣1=0，与公共弦垂直且平分．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力．8．（2012春•路北区校级期中）已知直线l1，l2的夹角平分线所在直线方程为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），那么l2的方程是（）A．bx+ay+c=0B．ax﹣by+c=0C．bx+ay﹣c=0D．bx﹣ay+c=0【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】直线与圆．【分析】因为由题意知，直线l1和l2关于直线y=x对称，故把l1的方程中的x和y交换位置即得直线l2的方程．【解答】解：由题意可得直线l1与直线l2关于直线y=x对称，由于直线l1上的任意一点M（x，y）关于直线y=x的对称点为N（y，x），而l1的方程是ax+by+c=0（ab＞0），故l2的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，故选A．【点评】本题主要考查求一条直线关于直线y=x的对称直线方程的方法，当两直线关于直线y=x对称时，把其中一个方程中的x和y交换位置，即得另一条直线的方程，属于中档题．9．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A．PM⊥△AEF所在平面B．AM⊥△PEF所在平面C．PF⊥△AEF所在平面D．AP⊥△PEF所在平面【考点】棱锥的结构特征．高考帮