复习二实数与向量的数量积

高考网第二十三教时教材：复习二——实数与向量的数量积（续）目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。过程：一、继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理——平几问题1．如图：已知MN是△ABC的中位线，求证：MN=21BC,且MN∥BC证：∵MN是△ABC的中位线，∴ABAM21,ACAN21∴BCABACABACAMANMN21)(212121∴MN=21BC,且MN∥BC2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设AC=b，CB=a，则AD=AC+CD=b+21a,CBECEB=∵A,G,D共线，B,G,E共线∴可设AG=λAD，EG=μEB,则AG=λAD=λ(b+21a)=λb+21λa,EG=μEB=μ(21b+a)=21μb+μa,∵AGEGAE即：21b+(21μb+μa)=λb+21λa∴(μ21λ)a+(21μλ+21)b=0∵a,b不平行，∴ADAG32313202121021即：AG=2GD同理可化：AG=2GD,CG=2GF3．设AB=22(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，求证：A,B,D三点共线。证：AD=AB+BC+CD=22(a+5b)+(2a+8b)+3(ab)=(1+22)a+(5+522)b=(1+22)(a+5b)而AB=22(a+5b)∴AD=(2+1)AB又∵AD,AB有公共点∴A,B,D三点共线4．求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a2b的终点在同一直线上。证：依题意，可设OA=a,OB=b,OC=3a2bAB=OBOA=ba,AC=OCOB=3a2ba=2(ab)∴AC=2AB由于AC,AB起点均为A，∴三点A,B,C共线，即起点相同的三个非零向量a、b、3a2b的终点在同一直线上5．已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线的充要条件是存在实数λ和μ，使OC=λOA+μOB，且λ+μ=1。证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设AC=tAB(tR)则OC=OA+AC=OA+tAB=OA+t(OBOA)=(1t)OA+tOB令1t=λ，t=μ，则有：OC=λOA+μOB，且λ+μ=1充分性：AC=OCOA=λOA+μOBOA=(λ1)OA+μOBABCNMABCEFDG高考网=μOA+μOB=μ(OBOA)=μAB∴三点A、B、C共线6．某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va，设OA=a，OB=2a∵PO+OA=PA∴PA=va，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵PO+OB=PB∴PB=v2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：PBO=45,PABO,BA=AO从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=2a即：|v|=2a∴实际风速是2a的西北风二、作业：《导学•创新》§5.3PBAOvv2a