复习四平面向量的数量积及运算律

高考网第二十五教时教材：复习四——平面向量的数量积及运算律目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等问题。过程：一、复习：1．定义、其结果是一个数量。2．a•b00≤90；a•b=0==90即ab；a•b090≤1803．性质1—54．运算律二、例题：1．已知|a|=5，|b|=8，a与b的夹角为60，求|a+b|解：a•b=|a||b|cos60=5×8×21=20∴|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a•b=129∴|a+b|=1292．求证：|a+b|≤|a|+|b|证：|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a•b=|a|2+|b|2+2|a||b|cos≤|a|2+|b|2+2|a||b|=(|a|+|b|)2即：|a+b|≤|a|+|b|3．设非零向量a、b、c、d，满足d=(a•c)b(a•b)c，求证：ad证：内积a•c与a•b均为实数，∴a•d=a•[(a•c)b(a•b)c]=a•[(a•c)b]a•[(a•b)c]=(a•b)(a•c)(a•c)(a•b)=0∴ad4．已知非零向量a、b，满足a±b，求证：ba垂直于a+b的充要条件是|a|=|b|证：由题设：ba与a+b均为非零向量必要性：设ba垂直于a+b，则(ba)(a+b)=0又：(ba)(a+b)=b2a2=|b|2|a|2∴|b|2|a|2=0即：|a|=|b|充分性：设|a|=|b|，则(ba)(a+b)=b2a2=|b|2|a|2=0即：(ba)(a+b)=0∴(ba)(a+b)5．已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=21222||||||bbbaba∴=606．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=b∵ABCD为菱形∴|a|=|b|∴ACBD=(b+a)(ba)=b2a2=|b|2|a|2=0∴ACBD7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，AB=a,AC=b,AH=h,则BH=ha,CH=hb,BC=ba∵BHAC,CHAB∴0)()()(0)(0)(abhabhbahaahbah∴AHBC又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点三、作业：《导学•创新》§5.6ABCDEFHCABDab