安徽省巢湖市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.sin17𝜋6等于()A.12B.−12C.√32D.−√32【答案】A【解析】解:sin17𝜋6=sin(3𝜋−𝜋6)=sin5𝜋6=12.故选:A.运用诱导公式即可化简求值.本题主要考查了运用诱导公式化简求值,特殊角的三角函数值等基本知识,属于基础题.2.已知集合𝐴={𝑥|𝑥−40},𝐵={𝑥|𝑦=1√𝑥},则𝐴∩𝐵=()A.[0,4)B.(0,4)C.(−∞,4)D.(4,+∞)【答案】B【解析】解:集合𝐴={𝑥|𝑥−40}={𝑥|𝑥4},𝐵={𝑥|𝑦=1√𝑥}={𝑥|𝑥0},则𝐴∩𝐵={𝑥|0𝑥4}=(0,4).故选:B.化简集合A、B,根据交集的定义写出𝐴∩𝐵.本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.3.下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A.𝑓(𝑥)=−1𝑥B.𝑓(𝑥)=3𝑥C.𝑓(𝑥)=𝑥2+1D.𝑓(𝑥)=sin𝑥【答案】A【解析】解:𝐴.𝑓(𝑥)=−1𝑥是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴该选项正确;B.𝑓(𝑥)=3𝑥是非奇非偶函数,∴该选项错误;C.𝑓(𝑥)=𝑥2+1是偶函数,不是奇函数,∴该选项错误;D.𝑓(𝑥)=sin𝑥在(0,+∞)上没有单调性,∴该选项错误.故选:A.容易看出选项A的函数是奇函数,在(0,+∞)上单调递增,从而A正确,而选项B的函数非奇非偶,选项C的函数不是奇函数,选项D的函数在(0,+∞)上没有单调性,从而判断B,C,D都错误.考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义,反比例函数,正弦函数的单调性,指数函数和二次函数的奇偶性.4.已知tan𝛼=3,则1+cos2𝛼sin𝛼cos𝛼+sin2𝛼=()A.38B.916C.79D.1112【答案】D【解析】解:∵tan𝛼=3,∴1+cos2𝛼sin𝛼cos𝛼+sin2𝛼=sin2𝛼+2cos2𝛼sin𝛼cos𝛼+sin2𝛼=tan2𝛼+2tan𝛼+tan2𝛼=1112.故选:D.把要求值的式子化弦为切求解.本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.5.设𝑎=log56,𝑏=(13)0.4,𝑐=19,则a,b,c的大小关系是()A.𝑏𝑐𝑎B.𝑎𝑐𝑏C.𝑎𝑏𝑐D.𝑐𝑏𝑎【答案】C【解析】解:log56log55=1,(13)0.4(13)0=1,(13)0.4(13)2=19;∴𝑎𝑏𝑐.故选:C.可以得出log561,(13)0.41,(13)0.419,从而可得出a,b,c的大小关系.考查指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义.6.函数𝑓(𝑥)=2−𝑥+log3|𝑥|的零点的个数是()A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】解:函数𝑓(𝑥)=2−𝑥+log3|𝑥|的零点个数,即为函数𝑦=𝑥−2的图象和函数𝑦=log3|𝑥|的图象的交点个数.如图所示:数形结合可得,函数𝑦=𝑥−2的图象和函数𝑦=log3|𝑥|的图象的交点个数为3,故选:A.由题意可得,本题即求函数𝑦=𝑥−2的图象和函数𝑦=log3|𝑥|的图象的交点个数,数形结合可得结论.本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.7.若cos(𝛼+60∘)=−45,30∘𝛼120∘,则sin𝛼=()A.3+4√310B.2+√35C.1+√35D.1+2√310【答案】A【解析】解:cos(𝛼+60∘)=−45,30∘𝛼120∘,∴sin(𝛼+60∘)=√1−cos2(𝛼+60∘)=35,则sin𝛼=sin[(𝛼+60∘)−60∘]=sin(𝛼+60∘)cos60∘−cos(𝛼+60∘)sin60∘=35⋅12+45⋅√32=3+4√310,故选:A.利用同角三角函数的基本关系求得sin(𝛼+60∘)的值,再利用两角差的正弦公式求得sin𝛼=sin[(𝛼+60∘)−60∘]得值.本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用,属于基础题.8.函数𝑓(𝑥)=sin(𝜋3+2𝑥)+cos(𝜋6−2𝑥)的最小正周期为()A.2𝜋B.𝜋C.𝜋2D.𝜋4【答案】B【解析】解:函数𝑓(𝑥)=sin(𝜋3+2𝑥)+cos(𝜋6−2𝑥)=√32cos2𝑥+12sin2𝑥+√32cos2𝑥+12sin2𝑥=sin2𝑥+√3cos2𝑥=2sin(2𝑥+𝜋3)的最小正周期为2𝜋2=𝜋,故选:B.利用两角和差的三角公式化简𝑓(𝑥)的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.本题主要考查两角和差的三角公式,正弦函数的周期性,属于基础题.9.已知cos(𝛼−𝜋6)=√3−12cos𝛼+13,则sin2𝛼的值为()A.34B.√35C.−59D.−35【答案】C【解析】解:∵已知cos(𝛼−𝜋6)=√3−12cos𝛼+13,∴√32cos𝛼+12sin𝛼=√32cos𝛼−12cos𝛼+12,∴sin𝛼+cos𝛼=23,平方可得1+2sin𝛼cos𝛼=49,求得2sin𝛼cos𝛼=sin2𝛼=−59,故选:C.利用两角差的余弦公式求得sin𝛼+cos𝛼的值,再利用同角三角函数的基本关系求得sin2𝛼的值.本题主要考查两角差的余弦公式,同角三角函数的基恩关系,属于基础题.10.已知向量𝑎⃗⃗,𝑏⃗满足|𝑎⃗⃗−3𝑏⃗|=2,|𝑎⃗⃗|=2,𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=72,则|𝑏⃗|的值为()A.√2B.√33C.12D.14【答案】B【解析】解:由|𝑎⃗⃗−3𝑏⃗|=2得√(𝑎⃗⃗−3𝑏⃗)2=2,得4−6𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗+|𝑏⃗|2=4,由𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=72得4−𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=72,两式联立解得|𝑏⃗|=√33故选:B.两个条件变形后列方程组可解得.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题.11.已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的部分图象如图所示,则下列区间使函数𝑓(𝑥)单调递减的是()A.[−5𝜋12,𝜋]B.[−3𝜋4,−𝜋12]C.[−𝜋4,𝜋6]D.[5𝜋12,11𝜋12]【答案】A【解析】解:函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|𝜋2)的部分图象如图所示,则:𝑇4=𝜋6+𝜋12=𝜋4,所以:𝑇=𝜋,则:𝜔=2𝜋𝜋=2,当𝑥=𝜋6时,𝑓(𝜋6)=2sin(2×𝜋6+𝜑)=0,所以:𝜋3+𝜑=𝑘𝜋(𝑘∈𝑍),解得:𝜑=𝑘𝜋−𝜋3(𝑘∈𝑍),由于:|𝜑|𝜋2,当𝑘=0时,𝜑=−𝜋3,所以函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3),令:𝜋2+2𝑘𝜋≤2𝑥−𝜋3≤2𝑘𝜋+3𝜋2(𝑘∈𝑍),解得:5𝜋12+𝑘𝜋≤𝑥≤𝑘𝜋+11𝜋12(𝑘∈𝑍),当𝑘=0时,函数的单调递减区间为[5𝜋12,11𝜋12].故选:A.首先利用三角函数的图象求出函数的关系式,进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.12.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥,𝑔(𝑥)=−𝑥2+4𝑥−2.若存在𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅,使得𝑓(𝑎)=𝑔(𝑏)成立,则𝑔(𝑏)的取值范围()A.(0,2]B.[0,2)C.(1,2]D.(1,2)【答案】A【解析】解:𝑓(𝑥)=2𝑥0,𝑔(𝑥)=−𝑥2+4𝑥−2=−(𝑥−2)2+2≤2,若若存在𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅,使得𝑓(𝑎)=𝑔(𝑏)成立,设𝑓(𝑎)=𝑔(𝑏)=𝑚,则0𝑚≤2,则𝑔(𝑏)的范围是(0,2],故选:A.求出𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的取值范围,设𝑓(𝑎)=𝑔(𝑏)=𝑚,则m的取值范围即可𝑔(𝑏)的取值范围.本题主要考查函数值值域的求解,求出𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的取值范围是解决本题的关键.本题表面看很复杂,其实试题难度不大.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知𝑎13=916,则log34𝑎=______.【答案】6【解析】解:∵𝑎13=916=(34)2;∴𝑎=(34)6;∴log34𝑎=log34(34)6=6.故答案为:6.根据𝑎13=916即可得出𝑎=(34)6,然后进行对数的运算即可.考查分数指数幂和对数的运算.14.已知向量𝑎⃗⃗=(2,−1),𝑏⃗=(−3,2),且表示向量𝑎⃗⃗+3𝑏⃗,−2𝑏⃗−2𝑎⃗⃗,𝑐⃗的有向线段首尾相接构成三角形,则向量𝑐⃗的坐标为______.【答案】(5,−3)【解析】解:𝑎⃗⃗+3𝑏⃗=(−7,5),−2𝑏⃗−2𝑎⃗⃗=(2,−2);设𝑐⃗=(𝑥,𝑦),根据题意,(−7,5)+(2,−2)+(𝑥,𝑦)=(0,0);∴{𝑦=−3𝑥=5;∴𝑐⃗=(5,−3).故答案为:(5,−3).可求出𝑎⃗⃗+3𝑏⃗=(−7,5),−2𝑏⃗−2𝑎⃗⃗=(2,−2),并设𝑐⃗=(𝑥,𝑦),根据题意即可得出(−7,5)+(2,−2)+(𝑥,𝑦)=(0,0),解出x,y即可得出𝑐⃗的坐标.考查向量坐标的加法、减法和数乘运算,向量的几何意义:用有向线段表示向量.15.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+3,若函数𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)在(2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】解:∵函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+3,∴𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)=(𝑥−𝑎)2−2(𝑥−𝑎)+3=𝑥2−(2𝑎+2)𝑥+𝑎2+2𝑎+3,∵函数𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)在(2,+∞)上是增函数,∴𝑎+1≤2,解得𝑎≤1,∴𝑎的取值范围是(−∞,1].故答案为:(−∞,1].推民出𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)=(𝑥−𝑎)2−2(𝑥−𝑎)+3=𝑥2−(2𝑎+2)𝑥+𝑎2+2𝑎+3,由函数𝑦=𝑓(𝑥−𝑎)在(2,+∞)上是增函数,得到𝑎+1≤2,由此能求出a的取值范围.本题考查实数的取值范围的求法,考查二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.已知函数(𝑥)=𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥(其中a,b为非零实数),且𝑓(𝜋4)=√𝑎2+𝑏2,有下列命题:①函数𝑓(𝑥)的最大值为√2|𝑎|;②函数𝑓(𝑥+3𝜋4)为奇函数;③若存在𝑥1≠𝑥2,使得𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=0,则𝑥1−𝑥2是3𝜋2的整数倍.其中正确命题的序号是______.(将所有正确命题的序号都填上)【答案】①②【解析】解:𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥=√𝑎2+𝑏2sin(𝑥+𝜃),(𝜃为辅助角),𝑓(𝜋4)=√𝑎2+𝑏2,可得√22(𝑎+𝑏)=√𝑎2+𝑏2,化简可得𝑎=𝑏,即有𝑓(𝑥)=√2|𝑎|sin(𝑥+𝜋4),则𝑓(𝑥)的最大值为√2|𝑎|,故①正确;由𝑓(𝑥+3𝜋4)=√2|𝑎|sin(𝑥+3𝜋4+𝜋4)=)=−√2|𝑎|sin𝑥,可得函数𝑓(𝑥+3𝜋4)为奇函数,故②正确;若存在𝑥1≠𝑥2,使得𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)=0,即𝑓(𝑥)=0,可得sin(𝑥+𝜋4)=0,即为𝑥+𝜋4=𝑘𝜋,可得�