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安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为()A.某班至多有一个男生爱踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球C.某班所有的男生都不爱踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，(3)“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.若向量a⃗=(1,0，z)与向量b⃗=(2,1，2)的夹角的余弦值为23，则z等于()A.0B.1C.−1D.2【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(1,0，z)与向量b⃗=(2,1，2)的夹角的余弦值为23，∴cosa⃗,b⃗=a⃗⋅b⃗⃗|a⃗|⋅|b⃗⃗|=2+2z√1+z2⋅√4+1+4=23，解得z=0．故选：A．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.以双曲线x24−y212=−1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216+y212=1B.x212+y216=1C.x216+y24=1D.x24+y216=1【答案】D【解析】解：双曲线x24−y212=−1的顶点为(0,−2√3)和(0,2√3)，焦点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆的焦点坐标是为(0,−2√3)和(0,2√3)，顶点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆方程为x24+y216=1．故选：D．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．4.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a−1)y=a−7平行且不重合的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则a3=2a−1≠3a−7−a∴a=3综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C．两个方面分析本题，分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．本题以直线为载体，考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．5.平面内一点M到两定点F1(0,−5)，F2(0,5)的距离之和为10，则M的轨迹是()A.椭圆B.圆C.直线D.线段【答案】D【解析】解：根据题意，两定点F1(0,−5)，F2(0,5)则|F1F2|=10，而动点M到两定点F1(0,−5)和F2(0,5)的距离之和为10，则M的轨迹为线段F1F2，故选：D．根据题意，由定点F1和F2的坐标可得|F1F2|的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段F1F2，即可得答案．本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．6.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB⃗⃗⃗⃗⃗=a⃗，AD⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗，AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c，则下列向量中与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量是()A.−12a⃗+12b⃗+cB.12a⃗+12b⃗+cC.−12a⃗−12b⃗+cD.12a−12b+c【答案】A【解析】解：∵BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+B1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c+12BD⃗⃗⃗⃗⃗=c+12(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗)=c+12(−a⃗+b⃗)=−12a⃗+12b⃗+c故选：A．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10【答案】B【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=−1，∵抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选：B．抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8.已知菱形ABCD边长为1，∠DAB=60∘，将这个菱形沿AC折成600的二面角，则B，D两点的距离为()A.√32B.12C.32D.34【答案】B【解析】解：菱形ABCD边长为1，∠DAB=60∘，将这个菱形沿AC折成600的二面角，取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO=BO=12AB=12，DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，∴∠DOB=60∘，∴B，D两点的距离为BD=12．故选：B．取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO=BO=12AB=12，DO⊥AC，BO⊥AC，∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.试在抛物线y2=−4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A(−2,1)的距离之和最小，则该点坐标为()A.(−14,1)B.(14,1)C.(−2,−2√2)D.(−2,2√2)【答案】A【解析】解：∵y2=−4x∴p=2，焦点坐标为(−1,0)依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=−14，则该点坐标为：(−14,1)．故选：A．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．10.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为()A.2√63B.3√62C.2√33D.√63【答案】C【解析】解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：根据长方体得性质可得：A1A⊥平面ABCD．因为AB=BC=1，AA1=2，所以AC=√2，A1C=√6，根据等面积可得：AE=A1A⋅ACA1C=2√33．故选：C．由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC=√2，A1C=√6，再根据等面积可得答案．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22，则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF//平面ABCDC.三棱锥A−BEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF//平面ABCD，故B正确；∵EF=√22，∴△BEF的面积为定值12×EF×1=√24，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A−BEF的高，∴三棱锥A−BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=12，α=30∘；当F与B1重合时tanα=√22，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12.若直线y=kx+2与双曲线x2−y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.(−√153,√153)B.(0,√153)C.(−√153,0)D.(−√153,−1)【答案】D【解析】解：渐近线方程为y=±x，由{x2−y2=6y=kx+2消去y，整理得(k2−1)x2+4kx+10=0设(k2−1)x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2−y2=6的右支交于不同的两点，∴{x1+x2=−4kk2−10x1x2=10k2−10，∴k−1，∴{△=(4k)2−40(k2−1)0k−1⇒−√153k−1故选：D．根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k−1联立求得k的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(1,1，0)，b⃗=(−1,0，2)，且ka⃗+b⃗与2a⃗−b⃗垂直，则k的值为______．【答案】75【解析】解：∵a⃗=(1,1，0)，b⃗=(−1,0，2)，∴ka⃗+b⃗=k(1,1，0)+(−1，0，2)=(k−1，k，2)2a⃗−b⃗=2(1,1，0)−(−1，0，2)=(3，2，−2)，∵ka⃗+b⃗与2a⃗−b⃗垂直，∴3(k−1)+2k−4=0，∴k=75，故答案为：75根据所给的两个向量的坐标，写出ka⃗+b⃗与2a⃗−b⃗的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k的方程，得到结果．本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目．14.已知(4,2)是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，则l的方程是______．【答案】x+2y−8=0【解析】解：设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k=y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−x1+x224⋅y1+y22=−44×2=−12．由点斜式可得l的方程为x+2y−8=0．设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，由“点差法”可求出直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−x1+x224⋅y1+y22=−44×2=−12.再由由点斜式可得l的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是正方体ADD1A1和ABCD的中心，G是C1C的中点，设GF、C1F与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于______．【答案】π2【解析】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(0,2，0)，A(2,2，0)，G(0,0，1)，F(1,1，0)，C1(0,0，2)，E(2,1，1)，则BA⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，GF⃗⃗⃗⃗=(1,1，−1)，C1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1，−1)，∴