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高考帮——帮你实现大学梦想！1/172015-2016学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（）A．﹣1﹣iB．1+iC．2iD．﹣1+i2．某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x﹣85.71，给出下列结论，则错误的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个D．回归直线一定过样本点的中心点（，）3．设随机变量ξ～N（2，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），则实数c的值为（）A．1B．2C．3D．04．定积分dx的值是（）A．+ln2B．C．3+ln2D．5．下列说法正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．7．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件高考帮——帮你实现大学梦想！2/178．将4名教师（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（）A．48B．36C．30D．609．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=±2x，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．10．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（）A．a2+b2+c2＞ab+bc+caB．a﹣b+≥2C．|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|D．﹣≤﹣11．△ABC中，若D是BC的中点，则=（+）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体A﹣BCD中，若G为△BCD的①，则=（++），则①处应该填（）A．中心B．重心C．外心D．垂线12．设函数f（x）=x2+bln（x+1），如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，0）∪（0，）C．（0，）D．[0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设（2﹣x）5的展开式中x3的系数为A，则A=．14．如图，用4种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）15．已知抛物线C：y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（，﹣1），则直线l的方程为．16．已知函数f（x）=ex﹣x2在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+y﹣6=0垂直，则切点坐标为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）（Ⅰ）计算a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}通项公式an．高考帮——帮你实现大学梦想！3/1718．甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次．（Ⅰ）求甲同学至少投中3次的概率；（Ⅱ）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望．19．某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有100人．（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），附：K2=P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.8282×2列联表：数学优秀数学不优秀总计物理优秀物理不优秀总计20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD（Ⅱ）若AP=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．22．已知点P是椭圆E：+y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+高考帮——帮你实现大学梦想！4/17（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若已知点A（0，﹣2），过点A作直线l与椭圆E相交于B、C两点，求△OBC面积的最大值．高考帮——帮你实现大学梦想！5/172015-2016学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（）A．﹣1﹣iB．1+iC．2iD．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的几何意义先求出复数对应的点的坐标，利用点的对称性进行求解即可．【解答】解：==﹣1﹣i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），∵复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，1）对应的复数为z=﹣1+i，故选：D2．某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x﹣85.71，给出下列结论，则错误的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个D．回归直线一定过样本点的中心点（，）【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，回归直线一定过样本点的中心点（，），但不一定过样本数据，可知A，B，D均正确，可以判断C错误．【解答】解：由线性回归方程=0.85x﹣85.71，0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故A正确；由线性回归方程可知该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故B正确；由线性回归直线一定过样本点的中心点（，），故D正确；回归直线不一定经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的点，故C错误，故答案选：C．高考帮——帮你实现大学梦想！6/173．设随机变量ξ～N（2，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），则实数c的值为（）A．1B．2C．3D．0【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=1对称，根据P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+3与点c﹣1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣1），∴c+3+c﹣1=4，∴c=1故选：A．4．定积分dx的值是（）A．+ln2B．C．3+ln2D．【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案．【解答】解：dx===ln2﹣ln1+=．故选：A．5．下列说法正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．若命题“￢p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据四种命题真假关系进行判断，B．根据全称命题的否定是特称命题进行判断，C．根据逆否命题的定义进行判断，D．根据复合命题真假关系进行判断．【解答】解：A．∵逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题的真假性相同，则一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但逆否命题不一定为真，故A错误B．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故B错误，C．命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误，D．若￢p为真命题，则p是假命题，若p或q为真命题，则q一定是真命题，故D正确故选：D高考帮——帮你实现大学梦想！7/176．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．7．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B．8．将4名教师（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（）A．48B．36C．30D．60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】首先分析题目4个老师分到3个学校，每个学校至少分到一人，求2名女教师不能分配到同一个学校的种数，考虑到应用反面的思想求解，先求出2名女教师在一个学校的种数，然后用总的种数减去2名女教师在一个学校的种数，即可得到答案．【解答】解：考虑用间接法，因为2名女教师分配到同一个学校有3×2=6种排法；将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有C42•A33=36种排法；故2名女教师不能分配到同一个学校有36﹣6=30种排法；故选：C．高考帮——帮你实现大学梦想！8/179．已知抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=±2x，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线和双曲线左顶点的关系求出a，结合双曲线的渐近线求出，b，c即可求双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣2，∵抛物线y2=8x的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点（﹣a，0），∴﹣a=﹣2，则a=2，∵双曲线的两条渐近线方程为y=±2x=±x=±x，∴=2，则b=4，则c===2，则双曲线的离心率e==，故选：D．10．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（）A．a2+b2+c2＞ab+bc+caB．a﹣b+≥2C．|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|D．﹣≤﹣【考点】基本不等式；不等式的基本性质．【分析】A．a，b，c是互不相等的正数，可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＞0，展开化简即可判断出结论；B．a＜b时，（a﹣b）+=﹣≤﹣2，即可判断出正误；C．由绝对值的不等式的性质即可判断出结论；D．平方作差﹣=2﹣2＞0，即可判断出结论．【解答】解：A．∵a，b，