山东省巨野一中20102011学年高一每周一练数学试题

山东省巨野一中2010—2011学年度高一数学“每周一练”系列试题（31）（命题范围:几何概型）[来1．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图，并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被分成20个相等的扇形）．甲顾客购物花了120元，他获得购物券的概率是多少？他得到的100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？[2．设不等式组0≤x≤6，0≤y≤6.表示的区域为A，不等式组0≤x≤6，x－y≥0.表示的区域为B．（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率；（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）在区域B中的概率．3．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．（1）设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；（2）设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内的概率．4．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；（2）若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．[来源:Zxxk.Com]5．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．参考答案1．解：转盘被等分成20个扇形，并且每一个顾客自由转动转盘，说明指针落在每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购物券的概率相同，获得100元、50元、20元购物券的概率也相同，因此游戏是公平的．这是一个几何概型问题．根据题意，甲顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次转动转盘的机会，由于转盘被等分成20个扇形，其中1个红色，2个黄色，4个绿色，因此对于甲顾客来说P（获得购物券）=12420=720;P（获得100元购物券）=120;P（获得50元购物券）=220=110;P（获得20元购物券）=420=15．2．解：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为S2＝18，∴P（M）＝S2S1＝1836＝12．（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B中的点有21个，故P（N）＝2136＝712．3．解：（1）记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P（A）＝212＝16．（2）依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{（x，y）|0≤x≤30≤y≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{（x，y）|[来源:Zxxk.Com]2300,0xxxy≤≥≥其图形如图中的三角形OAD（阴影部分）又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A（3,0）、D（0，23），∴三角形OAD的面积为S1=1343.229∴所求事件的概率为P=1934.1216SS4．解：（1）因为a，b∈N，（a，b）可取（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）共9组．令函数f（x）＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f′（x）＝a＋bln2·2x．因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[－1,0]上是单调递增函数．f（x）在[－1,0]上的最小值为－a＋b2－1．要使A∩B≠∅，只需－a＋b2－1＜0，即2a－b＋2＞0．所以（a，b）只能取（0,1），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）7组．所以A∩B≠∅的概率为79．（2）因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以（a，b）对应的区域为边长为2的正方形（如图），面积为4．由（1）可知，要使A∩B＝∅，只需f（x）min＝－a＋b2－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的（a，b）对应的区域是如图阴影部分．所以S阴影＝12×1×12＝14，所以A∩B＝∅的概率为P＝144＝116．5．解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得：P（A）＝242－12×222－12×202242＝67288．故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是67288．[来源:学+科+网Z+X+X+K]