山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试数学文试题

2018届高三模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}Axxx，则RCA（）A．(1,2)B．[1,2]C．(2,1)D．[2,1]2.已知复数1izi（i是虚数单位），则z（）A．1B．12C．22D．23.已知123a，31log2b，2log3c，则a，b，c的大小关系是（）A．acbB．cabC．abcD．cba4.下图给出的是计算11112462018值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（）A．2016?iB．2018?iC．2016?iD．2018?i5.已知2()log(41)xfxax是偶函数，则a（）A．1B．1C．2D．26.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()(sinsin)abAB()sincbC，则A（）A．6B．3C．56D．237.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．316B．38C．14D．188.已知1sin()43，则sin2（）A．79B．79C．19D．199.函数()ln(1)fxxx的大致图象为（）A．B．C．D．10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．32B．643C．163D．32311.设1F、2F是椭圆C：2212xym的两个焦点，若C上存在点M满足12120FMF，则m的取值范围是（）A．1(0,][8,)2B．(0,1][8,)C．1(0,][4,)2D．(0,1][4,)12.已知函数2()(12)()fxxxaxb(,)abR的图象关于点(1,0)对称，则()fx在[1,1]上的最大值为（）A．3B．32C．23D．332第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知实数x，y满足0010xyxy，则22(1)xy的最大值为．14.在平行四边形ABCD中，1AB，2AD，则ACBD．15.已知圆M与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线2yx上，则圆M的标准方程为．16.已知()sincosfxxx2()3，若函数()fx图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(,2)，则的取值范围是．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知数列{}na的前n项和2352nnnS.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设13nnnbaa，求数列{}nb的前n项和.18.在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，平面SAB平面ABCD，平面SAD平面ABCD，且23SAADAB.（Ⅰ）证明：SA平面ABCD；（Ⅱ）若E为SC的中点，三棱锥EBCD的体积为89，求四棱锥SABCD外接球的表面积.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：学习时间（分钟/天）20t2050t50t喜好等级一般爱好痴迷（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X甲与X乙及方差2S甲与2S乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X甲、2S甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.20.已知抛物线C：22(01)ypxp上的点(,1)Pm到其焦点F的距离为54.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点.21.已知曲线2()1ln()yfxxaxaR与x轴有唯一公共点A.（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）曲线()yfx在点A处的切线斜率为27aa.若两个不相等的正实数1x，2x满足12()()fxfx，求证：121xx.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos2sinxy（为参数），直线l的参数方程为121xtyta（t为参数）.（Ⅰ）若1a，求直线l被曲线C截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a，在曲线C上求一点M，使得点M到直线l的距离最小，并求出最小距离.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3fxxa.（Ⅰ）当4a时，求不等式()3fx的解集；（Ⅱ）设函数()1gxx.当xR时，()()1fxgx恒成立，求实数a的取值范围.2018届高三模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题1-5:ACBDA6-10:BCBAD11、12：AD二、填空题13.214.315.22(2)2xy16.37[,]48三、解答题17.（Ⅰ）解：114aS.当2n时，1nnnaSS22353(1)5(1)22nnnn.又14a符合2n时na的形式，所以{}na的通项公式为31nan.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)nbnn113134nn.数列{}nb的前n项和为121111()()47710nbbb1111()()32313134nnnn11434n.18.（Ⅰ）证明：由底面ABCD为矩形，得BCAB.又平面SAB平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，所以BC平面SAB.所以BCSA.同理可得CDSA.又BCCDC，BC平面ABCD，CD平面ABCD，所以SA平面ABCD.（Ⅱ）解：设6SAa，则2ABa，3ADa.13EBCDBCDVSh111()()322BCCDSA311(23)(3)332aaaa.又89EBCDV，所以3839a.解得23a.四棱锥SABCD的外接球是以AB、AD、AS为棱的长方体的外接球，设半径为R.则2222RABADAS1473a，即73R.所以，四棱锥SABCD的外接球的表面积为219649R.19.解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m甲1026.67；（Ⅱ）XX甲乙；22SS甲乙；50.1150.2250.3X甲350.2450.15550.0527.5；221[(527.5)(400.1)40S甲2(1527.5)(400.2)2(2527.5)(400.3)2(3527.5)(400.2)2(4527.5)(400.15)2(5527.5)(400.05)]178.75.（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2人，记为1A，2A；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6人，记为1B，2B，3B，4B，5B，6B.随机选出2人有以下28种可能：12(,)AA，11(,)AB，12(,)AB，13(,)AB，14(,)AB，15(,)AB，16(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，23(,)AB，24(,)AB，25(,)AB，26(,)AB，12(,)BB，13(,)BB，14(,)BB，15(,)BB，16(,)BB，23(,)BB，24(,)BB，25(,)BB，26(,)BB，34(,)BB，35(,)BB，36(,)BB，45(,)BB，46(,)BB，56(,)BB，甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：11(,)AB，12(,)AB，13(,)AB，14(,)AB，15(,)AB，16(,)AB，21(,)AB，22(,)AB，23(,)AB，24(,)AB，25(,)AB，26(,)AB.所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287.20.解：（Ⅰ）由题意，得21pm，即12mp.由抛物线的定义，得1()222ppPFmp.由题意，15224pp.解得12p，或2p（舍去）.所以C的方程为2yx.（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然0k），则直线PA的方程为1(1)ykx，则1ykxk.由21ykxkyx消去y并整理得22[2(1)1]kxkkx2(1)0k.设11(,)Axy，由韦达定理，得212(1)1kxk，即212(1)kxk.2112(1)11kykxkkkk11k.所以22(1)1(,1)kAkk.由题意，直线PB的斜率为1k.同理可得221(1)1(,1)11()kBkk，即22((1),1)Bkk.若直线l的斜率不存在，则222(1)(1)kkk.解得1k，或1k.当1k时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当1k时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符.所以，直线l的斜率必存在.直线l的方程为2(1)(1)kykk2[(1)]xk，即21(1)kyxk.所以直线l过定点(0,1).证法二：由（1），得(1,1)P.若l的斜率不存在，则l与x轴垂直.设11(,)Axy，则11(,)Bxy，211yx.则11111111PAPByykkxx211221111(1)(1)yxxx111x.（110x，否则，11x，则(1,1)A，或(1,1)B，直线l过点P，与题设条件矛盾）由题意，1111x，所以10x.这时A，B两点重合，与题意不符.所以l的斜率必存在.设l的斜率为k，显然0k，设l：ykxt，由直线l不过点(1,1)P，所以1kt.由2yxykxt消去y并整理得222(21)0kxktxt.由判别式140kt，得14kt.设11(,)Axy，22(,)Bxy，则12212ktxxk①，2122txxk②，则12121111PAPByykkxx12121111kxtkxtxx2212121212(1)()(1)()1kxxktxxtxxxx.由题意，2212121212(1)()(1)1()1kxxktxxtxxxx.故212(1)(1)kxxktk212()20xxtt③将①②代入③式并化简整理得2210tktkk，即210tktk.即(1)(1)(1)0ttkt，即(1)(1)0ttk.