2018届高三模拟考试理科数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}Axxx,则RCA()A.(1,2)B.[1,2]C.(2,1)D.[2,1]2.已知复数1izi(i是虚数单位),则z()A.1B.12C.22D.23.已知123a,31log2b,121log3c,则a,b,c的大小关系是()A.acbB.cabC.abcD.cba4.下图给出的是计算11112462018值的程序框图,其中判断框内可填入的条件是()A.2016?iB.2018?iC.2016?iD.2018?i5.若2101()()xaxx的展开式中6x的系数为30,则a()A.12B.2C.12D.26.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.316B.38C.14D.187.已知2tan()44,则sin2()A.79B.79C.19D.198.函数()ln(1)fxxx的大致图象为()A.B.C.D.9.已知222,0()2,0xxxfxxxx,则满足(21)(2)fxf成立的x取值范围是()A.31(,)22B.31(,)(,)22C.1(,)2D.1(,)210.某多面体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形,这些等腰三角形的面积之和为()A.443B.445C.82D.4458211.设1F、2F是椭圆C:2212xym的两个焦点,若C上存在点M满足12120FMF,则m的取值范围是()A.1(0,][8,)2B.(0,1][8,)C.1(0,][4,)2D.(0,1][4,)12.已知函数2()(12)()fxxxaxb(,)abR的图象关于点(1,0)对称,则()fx在[1,1]上的值域为()A.3[8,]2B.3[7,]2C.33[8,]2D.33[7,]2第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知实数x,y满足0010xyxy,则22(1)xy的最大值为.14.在平行四边形ABCD中,4AB,3CPPD,若1ABBP,则ABAD.15.已知圆M与直线0xy及40xy都相切,圆心在直线2yx上,则圆M的标准方程为.16.已知()sincosfxxx2()3,若函数()fx图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2,3),则的取值范围是.(结果用区间表示)三、解答题:本大题共6小题,共70分.17.nS为数列{}na的前n项和.已知0na,2364nnnaaS.(Ⅰ)求{}na的通项公式;(Ⅱ)设13nnnbaa,求数列{}nb的前n项和nT.18.在四棱锥SABCD中,平面SAB平面ABCD,平面SAD平面ABCD.(Ⅰ)证明:SA平面ABCD;(Ⅱ)若底面ABCD为矩形,23SAADAB,F为SC的中点,23BEBC,求直线EF与平面SCD所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展,我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度,从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生,记录他们在一周内平均每天学习数学的时间,并将其分成了6个区间:(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60],整理得到如下频率分布直方图:根据一周内平均每天学习数学的时间t,将学生对于数学的喜好程度分为三个等级:学习时间(分钟/天)20t2050t50t喜好等级一般爱好痴迷(Ⅰ)试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m甲(精确到0.01);(Ⅱ)判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X甲与X乙及方差2S甲与2S乙的大小关系(只需写出结论),并计算其中的X甲、2S甲(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)记事件A:“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求A的概率.20.已知抛物线C:212yx,不过坐标原点O的直线l交于A,B两点.(Ⅰ)若OAOB,证明:直线l过定点;(Ⅱ)设过A且与C相切的直线为1l,过B且与C相切的直线为2l.当1l与2l交于点(1,2)时,求l的方程.21.已知2()1ln()fxxaxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx与x轴有唯一公共点A,求a的取值范围;(Ⅱ)若不等式12()1xfxexx对任意的1x恒成立,求a的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为3cos2sinxy(为参数),直线l的参数方程为121xtyta(t为参数).(Ⅰ)若1a,求直线l被曲线C截得的线段的长度;(Ⅱ)若11a,在曲线C上求一点M,使得点M到直线l的距离最小,并求出最小距离.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()3fxxa.(Ⅰ)当4a时,求不等式()3fx的解集;(Ⅱ)设函数()1gxx.当xR时,()()1fxgx恒成立,求实数a的取值范围.2018届高三模拟考试数学(理科)参考答案一、选择题1-5:ACBDD6-10:CBABB11、12:AD二、填空题13.414.1115.22(2)2xy16.711[,]812三、解答题17.(Ⅰ)当1n时,有2111364aaa,即11(4)(1)0aa.因为10a,所以110a.从而140a,即14a.由2364nnnaaS,知2111364nnnaaS.两式相减,得22111336464nnnnnnaaaaSS.即22111336nnnnnaaaaa,即2211330nnnnaaaa,即11()(3)0nnnnaaaa.因为0na,所以130nnaa,即13nnaa.所以,数列{}na是首项为4,公差为3的等差数列.所以43(1)31nann.(Ⅱ)由(Ⅰ)知3(31)(34)nbnn113134nn.数列{}nb的前n项和为1111()()47710nT1111()()32313134nnnn11434n.18.(Ⅰ)证法1:在平面ABCD内过点C作两条直线1l,2l,使得1lAB,2lAD.因为ABADA,所以1l,2l为两条相交直线.因为平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCDAB,1l平面ABCD,1lAB,所以1l平面SAB.所以1lSA.同理可证2lSA.又因为1l平面ABCD,2l平面ABCD,12llC,所以SA平面ABCD.证法2:在平面SAB内过点S作1lAB,在平面SAD内过点S作2lAD.因为平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCDAB,1l平面SAB,1lAB,所以1l平面ABCD.同理可证2l平面ABCD.而过点S作平面ABCD的垂线有且仅有一条,所以1l与2l重合.所以1l平面SAD.所以,直线1l为平面SAB与平面SAD的交线.所以,直线1l与直线SA重合.所以SA平面ABCD.(Ⅱ)如图,分别以AB、AD、AS所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz.设6SA,则2AB,3AD,(2,0,0)B,(2,3,0)C,(0,3,0)D,(0,0,6)S.由F为SC的中点,得3(1,,3)2F;由23BEBC,得(2,2,0)E.所以1(1,,3)2EF,(2,3,6)SC,(2,0,0)DC.设平面SCD的一个法向量为(,,)nxyz,则00nSCnDC,即236020xyzx.取1z,则2y,0x.所以(0,2,1)n.所以cos,EFnEFnEFn1(1)0()231211904144205205.所以,直线EF与平面SCD所成角的正弦值为4205205.19.解:(Ⅰ)0.5(0.10.2)200.3m甲1026.67;(Ⅱ)XX甲乙;22SS甲乙;50.1150.2250.3X甲350.2450.15550.0527.5;222(527.5)0.1(1527.5)0.2S甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.222(4527.5)0.15(5527.5)0.05178.75.(Ⅲ)由题意,甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)PA0.075.20.设11(,)Axy,22(,)Bxy.(Ⅰ)解:显然直线l的斜率存在,设为k,直线的方程为ykxm.由题意,0m.由212ykxmyx,得2220xkxm.由题意,该方程的判别式24(2)0km,即220()km★.则122xxk,122xxm.因为OAOB,所以OAOB,所以12120xxyy,即1212()()0xxkxmkxm,即21212(1)()kxxkmxx20m.所以2222(1)20mkkmm.所以220mm.解得0m(舍去),或2m.当2m时,220km,满足()★式.所以直线l的方程为2ykx.直线l过定点(0,2).(Ⅱ)解法一:过点(1,2)且与C:212yx相切的直线的斜率必存在,设其斜率为k,则其方程为(2)(1)ykx,即(1)2ykx.由2(1)22ykxxy消去y并整理得222(2)0xkxk.由判别式2(2)8(2)0kk,解得15k.不妨设1l的斜率115k,则2l的斜率215k.由韦达定理,得1212xxk,即1115xk.111(1)2ykx(15)5235.所以(15,35)A.同理可得(15,35)B.直线l的方程为(35)y(35)(35)(15)(15)[(15)]x,即直线l的方程为2yx.解法二:2'1'()2yxx,所以过A且与C相切的直线1l的斜率为1x.同理,2l的斜率为2x.1l:21111()2yxxxx,即1l:21112yxxx.同理2l:22212yxxx.因为1l与2l的交点(1,2)的坐标为方程组2112221212yxxxyxxx的解,所以211122xx,且222122xx.所以方程2122xx,即21202xx的两个实根是1x,2x.由21202xx,解得115x,215x.又点A,B在C:212yx上,可得(15,35)A,(15,35)B.直线l的方程为(35)y(35)(35)(15)(15)