山西省20182019学年长治市第二中学高二下学期期中考试数学试题理

2018—2019学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若复数z满足izi43)1(,则z的虚部为A．5B．25C．25-D．-52．已知命题p：Rx,012xx，则p（）A．Rx，012xxB．Rx，012xxC．Rx，012xxD．Rx，012xx3．函数xxy142的单调递增区间是[来源:学科网ZXXK]A．,0B．1,C．,21D．,14．若随机变量满足4)1(,4)1(DE，则下列说法正确的是A．4,4DEB．3,3DEC．4,4DED．4,3DE[来源:学科网]5．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布)0)(1052，（N，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为A．150B．200C．300D．4006．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程axbyˆˆˆ，其中bˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元7．已知圆的方程为08622yxyx，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．610B．620C．630D．6408．函数xyx2sin2的图象可能是（）9．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面．现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p(n)，则p(4)=A．33B．31C．17D．1510．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数A．479B．180C．455D．45611．在43)12xxx（的展开式中常数项为A．28B．-28C．-56D．5612．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球3,3mn，从乙盒中随机抽取i（i=1,2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为1,2ii；[来源:学#科#网Z#X#X#K]（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为1,2ipi．则A．1212,ppEEB．1212,ppEEC．1212,ppEED．1212,ppEE二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上.)13．已知随机变量)32,3(~BX,则E(X)=_______．14．过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为15．现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为__________．16．已知4)4(ln)(,2222bbababa）（，则),(ba的最小值为_________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题共10分)计算：（1）710C（2）222(24)xxdx18．(本小题共12分)若423401234(23)xaaxaxaxax（1）求2a的值；（2）求2202413()()aaaaa19．(本题满分12分)2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：年龄段2235，3545，4555，5559，人数（单位：人）18018016080约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列22列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计xyPABO青年12中年5总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？20()PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828))()()(()(22dbcadcbabcadnK20．(本小题共12分)已知圆22:9Cxy，点(5,0)A，直线:20lxy.（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.21．(本小题共12分)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为10年。如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元。若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元。现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在10年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图1是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表。以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替一个二级过滤器更换滤芯发生的概率。（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数，若m+n=28，且56n，，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.[来源:学#科#网]22．(本小题共12分)已知函数)()(2aexxfx（1）若xy2是曲线)(xfy的切线，求a的值；（2）若xxxfln1)(，求a的取值范围。2018—2019学年第二学期高二期中考试数学答案（理科）1~5．CACDC6~10．BBDDC11~12．AA13．214．415．2616．1-217．(1)．120(2)．218．(1)．72(2)．119．(1)（1）18，12；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）25．【解析】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人．（2）22列联表如下：热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中年7512总计1317302230651274051.8332.70613171812221K，∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关．（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1A，2A，3A，4A，其余两人记为1B，2B，则从中选两人，一共有如下15种情况：12,AA，13,AA，14,AA，23,AA，24,AA，34,AA，11,AB，12,AB，21,AB，22,AB，31,AB，32,AB，41,AB，42,AB，12,BB，抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，[来源:学科网]∴62155P．20解：⑴设所求直线方程为2yxb，即20xyb，直线与圆相切，∴22||321b，得35b，∴所求直线方程为235yx-----------------------------------5分⑵方法1：假设存在这样的点(,0)Bt，当P为圆C与x轴左交点(3,0)时，|3|2PBtPA；当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，|3|8PBtPA，依题意，|3||3|28tt，解得，5t（舍去），或95t。---------------------------8分下面证明点9(,0)5B对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数。设(,)Pxy，则229yx，∴22222222229188118()9(517)9552525(5)102592(517)25xyxxxxPBPAxyxxxx，从而35PBPA为常数。----------------------------15分方法2：假设存在这样的点(,0)Bt，使得PBPA为常数，则222PBPA，∴22222()[(5)]xtyxy，将229yx代入得，22222229(10259)xxttxxxx，即2222(5)3490txt对[3,3]x恒成立，---------------------------8分∴22250,3490,tt，解得3595t或15t（舍去），所以存在点9(,0)5B对于圆C上任一点P，都有PBPA为常数35。---------------------12分21.由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯.设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以()0.40.40.40.064PA.....................................................................................2分（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.20.40.4，，.由题意，X可能的取值为20，21，22，23，24，并且..................................................3分(20)0.20.20.04PX，(21)0.20.420.16PX，(22)0.40.40.20.420.32PX，(23)0.40.420.32PX，(24)0.40.40.16PX.所以X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16................................................................................................................................................