平面解析几何

海量资源尽在星星文库：平面解析几何一、选择题和填空题1．（海淀·理科·题13）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为12,FF，且它们在第一象限的交点为P，12PFF△是以1PF为底边的等腰三角形．若110PF，双曲线的离心率的取值范围为1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是．【解析】12,35；PF2F1Oyx如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,ac，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,ac，12,PFmPFn，则1222102mnamnamnc1255acac，问题转化为已知125cc，求5cc的取值范围．设5cxc，则51xcx，11521242cxcxx．∵12x，∴11111126242210x，即111232425x．2．（海淀·文科·题8）直线21axby与圆221xy相交于A，B两点（其中,ab是实数），且AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点,Pab与点0,1之间距离的最大值为（）A．21B．2C．2D．21【解析】A；圆221xy的圆心到直线21axby的距离为221222ab，∴2222ab，即2212ba．因此所求距离为椭圆2212ba上点,Pab到焦点0,1的距离，其最大值为21．3．（海淀·文科·题10）已知动点P到定点2,0的距离和它到定直线:2lx的距离相等，则点P的轨迹方程为________．【解析】28yx；由已知，该轨迹为2p，定点为0,0，对称轴为x轴的抛物线，即28yx．海量资源尽在星星文库：．（丰台·文科·题4）直线20xy截圆224xy所得劣弧所对圆心角为（）A．π6B．π3C．π2D．2π3【解析】D；弦心距为22002111，圆的半径为42，于是1cos22，2π3．5．（丰台·文科·题14）已知点1,1A，点3,5B，点P是直线yx上动点，当||||PAPB的值最小时，点P的坐标是．【解析】2,2；Qy=xPBAyOx连结AB与直线yx交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，||||PAPB的值最小．直线AB的方程为515331yx，即340xy．解方程组340xyyx，得22xy．于是当||||PAPB的值最小时，点P的坐标为2,2．6．（石景山·理·题5）（石景山·文·题5）经过点(2,3)P作圆22(1)25xy的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．50xyB．50xyC．50xyD．50xy【解析】A；设圆心为C，则AB垂直于CP，3012(1)CPk，故:32AByx，选A．7．（西城·理·题13）（西城·文·题7）已知双曲线2213yx的左顶点为1A，右焦点为2F，P为双曲线右支上一点，则12PAPF最小值为_________．海量资源尽在星星文库：【解析】2；12(1,0),(2,0)AF，设(,)(1)Pxyx≥，2212(1,)(2,)2PAPFxyxyxxy，又2213yx，故223(1)yx，于是2212114545816PAPFxxx，当1x时，取到最小值2．8．（东城·理·题13）直线xt过双曲线22221xyab(0,0)ab的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若原点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．【解析】(1,2)；,,,bbAttBttaa，要使原点在以AB为直径的圆外，只需原点到直线AB的距离t大于半径bta即可，于是ba，2e12cbaa，故e(1,2)．9．（东城·文·题7）已知圆22104xymx与抛物线214yx的准线相切，则m的值等于（）A．2B．3C．2D．3【解析】D；抛物线的准线为1y，将圆化为标准方程222124mmxy，圆心到直线的距离为2114m3m．10．（东城·文·题10）经过点(2,3)且与直线250xy垂直的直线方程为．【解析】280xy；直线250xy的斜率为2，故所求直线的斜率为12，从而所求直线方程为13(2)2yx．11．（东城·文·题14）点P是椭圆2212516xy上一点，12,FF是椭圆的两个焦点，且12PFF的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为．【解析】83；海量资源尽在星星文库：，1212121211()18322PFFPPSPFPFFFFFyy．12．（宣武·理·题6）若椭圆221xymn与双曲线221(,,,xymnpqpq均为正数）有共同的焦点1F，2F，P是两曲线的一个公共点，则12||||PFPF等于（）A．22pmB．pmC．mpD．22mp【解析】C；由题设可知mn，再由椭圆和双曲线的定义有12||||2PFPFm及12||||2PFPFp，两个式子分别平方再相减即可得12||||PFPFmp．13．（宣武·文·题8）设圆C的圆心在双曲线2221(0)2xyaa的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线:30lxy截得的弦长等于2，则a的值为（）A．2B．3C．2D．3【解析】A；圆C的圆心2(2,0)Ca，双曲线的渐近线方程为20xay，C到渐近线的距离为222222ada，故圆C方程222(2)2xay．由l被圆C截得的弦长是2及圆C的半径为2可知，圆心C到直线l的距离为1，即221213aa．14．（崇文·文·题4）若直线yxb与圆222xy相切，则b的值为（）A．4B．2C．2D．22【解析】B；222bb．15．（朝阳·理·题6）已知点(3,4)P是双曲线22221(0,0)xyabab渐近线上的一点，,EF是左、右两个焦点，若0EPFP，则双曲线方程为（）A．22134xyB．22143xyC．221916xyD．221169xy【解析】C；海量资源尽在星星文库：不妨设,0,,0EcFc，于是有23,43,49160EPFPccc．于是225c．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为34yx，点P不在其上．排除D．16．（朝阳·理·题10）（朝阳·文·题13）圆224xy被直线3230xy截得的劣弧所对的圆心角的大小为．【解析】π3．圆心到直线的距离为23331d．不妨设劣弧所对的圆心角为，于是3cos22．解得π3．2-23x+y-23=0Oyx17．（朝阳·文·题10）在抛物线22(0)ypxp上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．【解析】2；由抛物线的几何性质，有4522pp．二、解答题18．（海淀·理科·题19）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为1F，2F，且12||2FF，点31,2在椭圆C上．⑴求椭圆C的方程；⑵过1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且2AFB的面积为1227，求以2F为圆心且与直线l相切的圆的方程．【解析】⑴设椭圆的方程为22221(0)xyabab，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为11,0F，21,0F．∴222233532(11)()(11)()42222a．∴2a，又1c，2413b，海量资源尽在星星文库：．⑵当直线lx轴，计算得到：31,2A，31,2B，21211||||32322AFBSABFF，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)ykx，由22(1)143ykxxy，消去y得2222(34)84120kxkxk．显然0成立，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则2122834kxxk，212241234kxxk．又422221212222644(412)||1()41(34)34kkABkxxxxkkk即2222212112(1)||13434kkABkkk，又圆2F的半径22|10|2||11kkkrkk．所以2222221112(1)2||12||1122||22343471AFBkkkkSABrkkk，化简，得4217180kk，即22(1)(1718)0kk，解得1k．所以，22||21krk．故圆2F的方程为：22(1)2xy．⑵另解：设直线l的方程为1xty，由221143xtyxy，消去x得22(43)690tyty，0恒成立，设11,Axy，22,Bxy，则122643tyyt，122943yyt．所以2121212||()4yyyyyy22223636(43)43ttt2212143tt．又圆2F的半径为2|101|1trt221t．所以212121||||2AFBSFFyy12||yy2212143tt1227，解得21t，所以221rt2．故圆2F的方程为：22(1)2xy．19．（海淀·文科·题19）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点31,20在该椭圆上．海量资源尽在星星文库：⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．【解析】⑴设椭圆C的方程为22221xyab(0)ab，由题意可得12cea，又222abc，所以2234ba因为椭圆C经过31,2，代入椭圆方程有22914134aa，解得2a所以1c，2413b故椭圆C的方程为22143xy．⑵解法一：当直线lx轴时，计算得到：31,2A，31,2B，1113||||13222AOBSABOF，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)ykx，0k由22(1)143ykxxy，消去y，得2222(34)84120kxkxk显然0成立，设11,Axy，22,Bxy，则2122834kxxk，212241234kxxk又2222212121212||()()()()ABxxyyxxkxx22221212121()1()4kxxkxxxx422222644(412)1(34)34kkkkk即2222212112(1)||13434kkABkkk又圆O的半径22|00|||11kkkrkk所以1||2AOBSABr222112(1)||2341kkkk226||162347kkk化简，得4217180kk，即22(1)(1718)0kk，解得211k，221817k（舍）