广东北大附中深圳南山分校2011届高三期末试题数学文

高三期末考试数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共50分)参考公式：锥体的体积公式1V=Sh3，其中S为锥体的底面积，和h为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁UM)∩N=A.{4}B.{2，3，4，5}C.{1，3，4，5}D.Φ2.若复数z1=3+i，z2=2－i，则12zz在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在下列函数中，是奇函数的有几个①f(x)=sin(π－x)；②|x|f(x)=x；③f(x)=x3－x；④f(x)=2x+2-x.A.1个B.2个C.3个D.4个4.设x，y满足约束条件y0xyx+y1，则z=2x+y的最大值等于A.1B.2C.0D.1.55.为了解地震灾区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg)，得到如图频率分布直方图.根据右图可知体重在[56.5，64.5)的学生人数有A.20人B.30人C.40人D.50人6.设m、n是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是A.若m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥βB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βD.若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n7.为了解“广州亚残会开幕式”电视直播节目的收视情况，某机构在深圳市随机抽查了10000人，把抽查结果输入如图所示的程序框图中，其输出的数值是3800，则该节目的收视率为A.3800B.6200C.0.62D.0.388.“x(x－3)≤0”是“|x－2|≤2”成立的开始输出SNT≤10000YT=T+1S=0T=1NS=S+1Y观看直播第5题图A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于S3的概率是A.13B.32C.41D.4310.若x、y是正数．x、a、b、y四个数成等差数列，x、m、n、y四个数成等比数列.则2(a+b)mn的取值范围是A.[2，+∞)B.(0，+∞)C.(0，4]D.[4，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分，共20分．把答案填在答题卡上．(一)必做题(11～13题)11.在平面直角坐标系中，已知AB=(13)，，AC=(21)，，则|BC|=.12.已知抛物线y2=2px的焦点与双曲线22yx=13的右焦点重合，则p的值为.13.设f0(x)=cosx，f1(x)=f0＇(x)，f2(x)=f1＇(x)，…，fn+1(x)=fn＇(x)，n∈N*，则f2011(x)=.(二)选做题(14~15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选讲选做题)圆C：x=1+cosθy=sinθ(θ为参数)的圆心到直线l：x=22+3ty=13t(t为参数)的距离为.15.(几何证明选讲选做题)如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CD=___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数πf(x)=2sin(x+)2cosx6.20070126DCOBPEA第15题图(Ⅰ)若4sinx5，πx[π]2，，求函数f(x)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.17.(本小题满分12分)关于x的方程x2+Bx+C=0的系数B、C分别是一枚骰子先后掷两次出现的点数.(Ⅰ)求该方程有实根的概率；(Ⅱ)求－2是该方程的一个根的概率.18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．(Ⅰ)证明：BC1//平面ACD1；(Ⅱ)证明：A1D⊥D1E；(Ⅲ)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离.DCBA1EAB1C1D119.(本小题满分14分)若函数321a+1f(x)=xx+bx+a32(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程；(Ⅱ)若存在x0使得f′(x)=－9，求实数a的最大值．20.(本小题满分14分)已知等差数列{an}中，a1=－1，前12项和S12=186．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足nan1b=()2，记数列{bn}的前n项和为Tn,求证：n16T7(n∈N*).21.(本小题满分14分)椭圆中心是原点O，它的短轴长为22，右焦点F(c，0)(c0)，它的长轴长为2a(ac0)，直线l：2ax=c与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；(Ⅱ)若OPOQ=0，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设AP=λAQ(λ1)，过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：FM=λFQ．高三数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：(10×5＇=50＇)题号12345678910答案AACBCDCABD二、填空题：(4×5＇=20＇)11、5；12、4；13、sinx；14、2；15、4.8.三、解答题：（80＇）16.解：(Ⅰ)∵4sinx5，πx[π]2，，∴3cosx5，……2分又31f(x)=2(sinx+cosx)2cosx22……3分=3sinxcosx，……4分∴43f(x)=3+55.……6分(Ⅱ)πf(x)=3sinxcosx=2sin(x)6，……8分∴2πT==2π|ω|，……10分∵x∈R，∴π22sin(x)26，……11分所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．……12分17.解：用(B，C)表示将一枚骰子先后掷两次出现的点数(B是第一次出现的点数，C是第二次出现的点数)，则将一枚骰子先后掷两次出现的点数的情况共有下列36种：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，……，……，……，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，……4分(Ⅰ)要使方程x2+Bx+C=0有实数根，当且仅当△=B2－4C≥0.……5分在上述36种基本情况中，适合B2－4C≥0的情况有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，……7分共计19种，所以该方程有实根的概率为1936.……8分(Ⅱ)当－2是该方程的根时，有(－2)2+B(－2)+C=0，，即2B=C+4.……9分在上述36种基本情况中，适合2B=C+4的情况只有(3，2)，(4，4)，(5，6)，……10分∴31p==3612，……11分所以－2是该方程的一个根的概率为112.……12分(注：用数表等其他形式列出基本事件一样给分)18.(Ⅰ)证明：∵AB//A1B1，AB=A1B1，A1B1//D1C1，A1B1=D1C1，∴AB//D1C1，AB=D1C1，……1分∴ABC1D1为平行四边形，……2分∴BC1//AD1，……3分又BC1平面ACD1，AD1平面ACD1，……4分所以BC1//平面ACD1.……5分(Ⅱ)证明：∵AE⊥平面AA1D1D，A1D平面AA1D1D，∴A1D⊥AE，……6分AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，……7分又A1D∩AE=A，∴A1D⊥平面AD1E，……9分A1D平面AD1E，∴A1D⊥D1E，……10分(Ⅲ)解：设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，1AC=CD=5，1AD=2，……11分故1ΔACD113S=25=222，而ΔACE11S=AEBC=22，……12分∴11D-AECΔAEC1ΔACD11V=SDD=Sh33，……13分即131=h22，从而1h=3，所以点E到面ACD1的距离为13．……14分19.解：321a+1f(x)=xx+bx+a32，f′(x)=x2－(a+1)x+b，……1分由f′(0)=0得b=0，f′(x)=x(x－a－1).……3分(Ⅰ)当a=1时,321f(x)=xx+13，f′(x)=x(x－2)，f(3)=1，f′(3)=3.……5分DCBA1EAB1C1D1所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y－1=3(x－3)，……6分即3x－y－8=0.……7分(Ⅱ)存在，使x0得f′(x)=x(x－a－1)=－9，999a1=x=(x)+()2(x)()=6xxx，a≤－7，……10分当且仅当x=－3时，a=－7．……12分所以a的最大值为－7．……14分(Ⅱ)另解：由题意“存在x0，使得f′(x)=x(x－a－1)=－9”有方程x2－(a+1)x+9=0有负数根．……8分又因为两根之积等于90，所以两根均为负数．……10分则2a+10Δ=(a+1)4190……12分解得a≤－7，……13分所以a的最大值为7．……14分20.解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，∵a1=－1，S12=186，∴1211211122Sad，……2分即186=－12+66d.……4分∴d=3.……5分所以数列{an}的通项公式an=－1+(n－1)×3=3n－4.……7分(Ⅱ)∵nan1b=()2，an=3n－4，∴3n4n1b=()2.……8分∵当n≥2时，3nn1b11=()=b28，……9分∴数列{bn}是等比数列，首项111b()22，公比1q8.……10分∴nnn12[1()]1618T==[1()]17818.……12分∵1018，∴n*10()1(nN)8，∴n*11()1(nN)8.……13分所以nn16116T=[1()]787.……14分(Ⅰ)解：由题意，可知椭圆的方程为222xy+=1(a2)a2.……1分由已知得222ac=2ac=2(c)c……2分解得a6，c=2，……3分所以椭圆的方程为22xy+=162，离心率6e=3.……5分(Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ的方程为y=k(x－3).联立方程组22xy+=162y=k(x3)，得(3k2+1)x2－18k2x+27k2－6=0，……6分依题意△=12(2－3k2)0，得66k33.……7分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则212218kx+x=3k+1，①212227k6xx=3k+1．②……8分由直线PQ的方程得为y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，于是，y1y2=k2(x1－3)(x2－3)=k2[x1x2－3(x1+x2)+9].③∵OPOQ=0，∴x1x2+y1y2=0．④……9分由①②③④得5k2=1，从而566k=()533，．所以直线PQ的方程为x5y3=0或x5y3=0．……10分(Ⅲ)证明：∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(3，0)，∴11AP=(x3,y)，22AQ=(x3y)，．由已知得方程组121222112222x3=λ(x3)y=λyxy+=162xy+=162，注意λ1，解得25λ1x=2λ，……12分因为F(2，0)，M(x1，－y1)