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广东省梅州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|−2𝑥3}，集合𝐵={𝑥|𝑥1}，则𝐴∪𝐵=()A.(−2,1)B.(−2,3)C.(−∞,1)D.(−∞,3)【答案】D【解析】解：∵集合𝐴={𝑥|−2𝑥3}，集合𝐵={𝑥|𝑥1}，∴𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥3}={−∞,3)．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.cos210∘=()A.12B.−12C.√32D.−√32【答案】D【解析】解：cos210∘=cos(180∘+30∘)=−cos30∘=−√32．故选：D．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.如图所示，D是△𝐴𝐵𝐶的边AB的中点，则向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗B.−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗【答案】A【解析】解：由三角形法则和D是△𝐴𝐵𝐶的边AB的中点得，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗．故选：A．根据向量加法的三角形法则知，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．4.函数𝑦=tan(2𝑥+𝜋3)的图象的一个对称中心为()A.(𝜋6,0)B.(𝜋4,0)C.(𝜋3,0)D.(𝜋2,0)【答案】C【解析】解：令2𝑥+𝜋3=𝑘𝜋2，𝑘∈𝑍；解得𝑥=𝑘𝜋4−𝜋6，𝑘∈𝑍；当𝑘=2时，𝑥=𝜋2−𝜋6=𝜋3，∴函数𝑦=tan(2𝑥+𝜋3)的图象的一个对称中心为(𝜋3,0)．故选：C．根据正切函数的对称中心为(𝑘𝜋2,0)𝑘∈𝑍，可求得函数y图象的一个对称中心．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.要得到函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋6)的图象，只需将函数𝑦=sin2𝑥的图象()A.向左平移𝜋12个单位长度B.向右平移𝜋12个单位长度C.向左平移𝜋6个单位长度D.向右平移𝜋6个单位长度【答案】A【解析】解：将函数𝑦=sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，可得函数𝑦=sin2(𝑥+𝜋12)=sin(2𝑥+𝜋6)的图象，故选：A．根据函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+⌀)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+⌀)的图象变换规律，属于中档题．6.设𝑎=30.3，𝑏=log𝜋3，𝑐=log0.3𝑒，则a，b，c的大小关系是()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑐𝑏𝑎C.𝑏𝑎𝑐D.𝑐𝑎𝑏【答案】A【解析】解：∵𝑦=3𝑥是定义域上的增函数，∴𝑎=30.330=1，又∵𝑦=log𝜋𝑥是定义域上的增函数，∴0=log𝜋1log𝜋3log𝜋𝜋=1，又∵𝑦=log0.3𝑥是定义域上的减函数，∴𝑐=log0.3𝑒log0.31=0，∴𝑎𝑏𝑐；故选：A．考查函数𝑦=3𝑥，𝑦=log𝜋𝑥，𝑦=log0.3𝑥的单调性，借助于0和1，对a、b、c比较大小．本题考查了函数数值大小的比较，解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定，是基础题．7.若cos𝑥=−35，且𝜋2𝑥𝜋，则tan𝑥+sin𝑥的值是()A.−3215B.−815C.815D.3215【答案】B【解析】解：∵cos𝑥=−35，且𝜋2𝑥𝜋，∴sin𝑥=√1−cos2𝑥=45，tan𝑥=sin𝑥cos𝑥=−43，∴tan𝑥+sin𝑥=−43+45=−815．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin𝑥，tan𝑥的值，即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8.函数𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥的图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥满足𝑓(−𝑥)=−𝑥sin(−𝑥)=𝑥sin𝑥=𝑓(𝑥)，函数的偶函数，排除B、C，因为𝑥∈(𝜋,2𝜋)时，sin𝑥0，此时𝑓(𝑥)0，所以排除D，故选：A．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9.函数𝑦=−cos2𝑥+sin𝑥的值域为()A.[−1,1]B.[−54,−1]C.[−54,1]D.[−1,54]【答案】C【解析】解：𝑦=−cos2𝑥+sin𝑥，=sin2𝑥+sin𝑥−1，=(sin𝑥+12)2−54，当sin𝑥=−12时，𝑦𝑚𝑖𝑛=−54．当sin𝑥=1时．𝑦𝑚𝑎𝑥=94−54=1，故函数的值域为：[−54,1]．故选：C．首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−𝑏lg(𝑥+√𝑥2+1)+2，且𝑓(−1)=1，则𝑓(1)=()A.4√3−1B.0C.−3D.3【答案】D【解析】解：∵𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−𝑏lg(𝑥+√𝑥2+1)+2，且𝑓(−1)=1，∴𝑓(−1)=−𝑎sin1−𝑏lg(−1+√2)+2=1，则𝑓(1)=𝑎sin−𝑏lg(1+√2)+2，两式相加得且𝑓(1)+1=−𝑏lg(−1+√2)−𝑏lg(1+√2)+4，即𝑓(1)+1=−𝑏[lg(−1+√2)(1+√2)]+4，=−𝑏lg(2−1)+4=4−𝑏lg1=4，则𝑓(1)=4−1=3，故选：D．根据条件，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．11.已知△𝐴𝐵𝐶是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得𝐷𝐸=2𝐸𝐹，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.−58B.14C.18D.118【答案】C【解析】解：如图，∵𝐷、E分别是边AB、BC的中点，且𝐷𝐸=2𝐸𝐹，∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+32𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−34𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−54𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−54𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos60∘+34×12=−54×1×1×12+34=18．故选：C．由题意画出图形，把𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗、𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗都用𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗、𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示，然后代入数量积公式得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．12.定义域为R的函数𝑓(𝑥)={1,𝑥=2lg|𝑥−2|,𝑥≠2,若关于𝑥的方程𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0恰有5个不同的实数解𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5，则𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥2+𝑥4+𝑥5)等于()A.0B.21g2C.31g2D.1【答案】C【解析】解：当𝑥=2时，𝑓(𝑥)=1，则由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得1+𝑏+𝑐=0.∴𝑥1=2，𝑐=−𝑏−1．当𝑥2时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥−2)，由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得[lg(𝑥−2)]2+𝑏lg(𝑥−2)−𝑏−1=0，解得lg(𝑥−2)=1，𝑥2=12或lg(𝑥−2)=𝑏，𝑥3=2+10𝑏．当𝑥2时，𝑓(𝑥)=lg(2−𝑥)，由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得[lg(2−𝑥)]2+𝑏lg(2−𝑥)−𝑏−1=0)，解得lg(2−𝑥)=1，𝑥4=−8或lg(2−𝑥)=𝑏，𝑥5=2−10𝑏．∴𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5)=𝑓(2+12+2+10𝑏−8+2−10𝑏)=𝑓(10)=lg|10−2|=lg8=3lg2．故选：C．分情况讨论，当𝑥=2时，𝑓(𝑥)=1，则由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得1+𝑏+𝑐=0，求出𝑥1=1；当𝑥2时，𝑓(𝑥)=lg(𝑥−2)，由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得[lg(𝑥−2)]2+𝑏lg(𝑥−2)−𝑏−1=0，解得lg(𝑥−2)=1，或lg(𝑥−2)=𝑏，从而求出𝑥2和𝑥3；当𝑥2时，𝑓(𝑥)=lg(2−𝑥)，由𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0得[lg(2−𝑥)]2+𝑏lg(2−𝑥)−𝑏−1=0)，解得lg(2−𝑥)=1，或lg(2−𝑥)=𝑏，从而求出𝑥4和𝑥5，5个不同的实数解𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5都求出来后，就能求出𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5)的值．这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据𝑎=0、𝑎0和𝑎0三种情况求出关于x的方程𝑓2(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥)+𝑐=0的5个不同的实数解𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5，然后再求出𝑓(𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5)的值．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑓(𝑥)=√log2𝑥−1的定义域为______．【答案】[2,+∞)【解析】解：由题意得：log2𝑥≥1，解得：𝑥≥2，∴函数𝑓(𝑥)的定义域是[2,+∞)．故答案为：[2,+∞)．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．14.已知平面向量𝑎⃗⃗=(2,3)，𝑏⃗=(𝑥,4)，若𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)，则𝑥=______．【答案】12【解析】解：𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(2−𝑥,−1)；∵𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)；∴𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=2(2−𝑥)−3=0；解得𝑥=12．故答案为：12．可求出𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(2−𝑥,−1)，根据𝑎⃗⃗⊥(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)即可得出𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)=0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．15.若幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)⋅𝑥𝑚2−2𝑚−3在(0,+∞)上是减函数，则实数𝑚=______．【答案】2【解析】解析∵𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3为幂函数，∴𝑚2−𝑚−1=1，∴𝑚=2或𝑚=−1．当𝑚=2时，𝑓(𝑥)=𝑥−3在(0,+∞)上是减函数，当𝑚=−1时，𝑓(𝑥)=𝑥0=1不符合题意．综上可知𝑚=2．故答案为：2．根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案