广东省20182019学年江门市高一上期末数学试卷

2018-2019学年广东省江门市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥≤2}，𝐵={𝑥|0≤𝑥≤4}，则𝐴∩𝐵=()A.[0,2]B.[1,2]C.[0,4]D.[1,4]【答案】A【解析】解：由数轴可得𝐴∩𝐵=[0,2]，故选择A．结合数轴直接求解．本题考查集合的运算，基础题.注意数形结合2.sin(−196𝜋)=()A.−12B.12C.−√32D.√32【答案】B【解析】解：sin(−196𝜋)=sin(−4𝜋+5𝜋6)=sin5𝜋6=sin𝜋6=12，故选：B．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．3.设𝑓(𝑥)={log3(𝑥2−1),𝑥≥22𝑒𝑥−1,𝑥2，则𝑓(𝑓(2))的值为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：𝑓(𝑓(2))=𝑓(log3(22−1))=𝑓(1)=2𝑒1−1=2，故选C．考查对分段函数的理解程度，𝑓(2)=log3(22−1)=1，所以𝑓(𝑓(2))=𝑓(1)=2𝑒1−1=2．此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．4.下列函数中，偶函数是()A.𝑦=𝑥2(𝑥0)B.𝑦=|𝑥+1|C.𝑦=2𝑥−2−𝑥3D.𝑦=3𝑥+3−𝑥2【答案】D【解析】解：𝐴.函数的定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数；B.函数𝑦=|𝑥+1|的对称轴为𝑥=−1，函数为非奇非偶函数；C.𝑓(−𝑥)=2−𝑥−2𝑥3=−2𝑥−2−𝑥3=−𝑓(𝑥)，函数𝑓(𝑥)是奇函数；D.𝑓(−𝑥)=3−𝑥+3𝑥3=3𝑥+3−𝑥2=𝑓(𝑥)，则函数𝑓(𝑥)是偶函数；故选：D．根据函数奇偶性的定义分别进行判断解即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，利用定义法判断𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)是否成立是解决本题的关键．5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选：C．解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项本题考查函数的表示方法--图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6.已知𝛼是第一象限角，那么𝛼2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角【答案】D【解析】解：∵𝛼的取值范围(2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋)，(𝑘∈𝑍)∴𝛼2的取值范围是(𝑘𝜋,𝜋4+𝑘𝜋)，(𝑘∈𝑍)分类讨论①当𝑘=2𝑖+1(其中𝑖∈𝑍)时𝛼2的取值范围是(𝜋+2𝑖𝜋,5𝜋4+2𝑖𝜋)，即𝛼2属于第三象限角．②当𝑘=2𝑖(其中𝑖∈𝑍)时𝛼2的取值范围是(2𝑖𝜋,𝜋4+2𝑖𝜋)，即𝛼2属于第一象限角．故选：D．由题意𝛼是第一象限角可知𝛼的取值范围(2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋)，然后求出𝛼2即可．此题考查象限角、轴线角以及半角的三角函数，角在直角坐标系的表示，属于基础题．7.已知𝐴(1,2)、𝐵(−3,−4)、𝐶(2,𝑚)，若A、B、C三点共线，则𝑚=()A.52B.3C.72D.4【答案】C【解析】解：∵𝐴、B、C三点共线，∴𝑘𝐴𝐶=𝑘𝐵𝐶，∴𝑚−22−1=𝑚+42+3，解得𝑚=72．故选：C．A、B、C三点共线，可得𝑘𝐴𝐶=𝑘𝐵𝐶，利用斜率计算公式即可得出．本题考查了三点共线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.把𝑦=sin𝑥的图象向右平移𝜋8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为()A.𝑦=sin(𝑥2−𝜋8)B.𝑦=sin(𝑥2+𝜋8)C.𝑦=sin(2𝑥−𝜋8)D.𝑦=sin(2𝑥−𝜋4)【答案】A【解析】解：令𝑓(𝑥)=sin𝑥，则𝑦=𝑓(𝑥−𝜋8)=sin(𝑥−𝜋8)，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得：𝑦=sin(12𝑥−𝜋8).故选：A．令𝑓(𝑥)=sin𝑥，可求𝑦=𝑓(𝑥−𝜋8)的解析式，利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换即可求得答案．本题考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换，属于基础题．9.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=8，𝐶=60∘，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=()A.20B.−20C.20√3D.−20√3【答案】B【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=5，𝐴𝐶=8，𝐶=60∘，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝐶=5×8×(−12)=−20．故选：B．利用已知条件，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的运算，注意向量的夹角是解题的关键．10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥+ln𝑥，ℎ(𝑥)=𝑥−√𝑥−1的零点分别为𝑥1，𝑥2，𝑥3，则𝑥1，𝑥2，𝑥3的大小关系是()A.𝑥1𝑥2𝑥3B.𝑥2𝑥1𝑥3C.𝑥1𝑥3𝑥2D.𝑥3𝑥2𝑥1【答案】A【解析】解：𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥的零点必定小于零，𝑔(𝑥)=𝑥+ln𝑥的零点必位于(0,1)内，函数ℎ(𝑥)=𝑥−√𝑥−1的零点必定大于1．因此，这三个函数的零点依次增大，故𝑥1𝑥2𝑥3．故选：A．利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较问题是解决本题的关键.必要时结合图象进行分析．本题考查函数零点的定义，函数零点就是相应方程的根，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置，进而比较出各零点的大小．11.函数𝑓(𝑥)=𝑥−1𝑥，若不等式𝑡⋅𝑓(2𝑥)≥2𝑥−1对𝑥∈(0,1]恒成立，则t的取值范围是()A.[23,+∞)B.[12,+∞)C.(−∞,23]D.(−∞,12]【答案】A【解析】解：由0𝑥≤1，可得12𝑥≤2，𝑓(2𝑥)=2𝑥−2−𝑥在(0,1]递增，且0𝑓(2𝑥)≤32，不等式𝑡⋅𝑓(2𝑥)≥2𝑥−1，即为𝑡≥2𝑥−12𝑥−2−𝑥=2𝑥2𝑥+1对𝑥∈(0,1]恒成立．由2𝑥2𝑥+1=11+12𝑥在(0,1]上递增，可得𝑥=1时，取得最大值23，即有𝑡≥23，∴𝑡的取值范围是[23,+∞).故选：A．运用指数函数的单调性可得12𝑥≤2，𝑓(2𝑥)=2𝑥−2−𝑥在(0,1]递增，可得𝑡≥2𝑥−12𝑥−2−𝑥=2𝑥2𝑥+1对𝑥∈(0,1]恒成立.求得右边的最大值，即可得到t的范围．本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．12.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，AE的延长线与CD相交于点𝐹.若𝐴𝐷=1，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=√3，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.√32B.−23C.√33D.−1【答案】D【解析】解：∵𝐴𝐷=1，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=√3，∴𝐴𝐵2=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2，∴△𝐴𝐷𝐵为直角三角形，且∠𝐴𝐷𝐵=90∘，∠𝐷𝐴𝐵=60∘，∵平行行四边形ABCD的对角线相交于点O，E是OD的中点，∴𝐷𝐸=13𝐷𝐵，∵𝐷𝐹//𝐴𝐵，∴𝐷𝐹=13𝐴𝐵∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2−23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1−43−23×1×2×12=−1，故选：D．先根据勾股定理判断△𝐴𝐷𝐵为直角三角形，且∠𝐴𝐷𝐵=90∘，∠𝐷𝐴𝐵=60∘，再根据三角形相似可得𝐷𝐹=13𝐴𝐵，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可．本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥(𝑥∈𝑅)的最小正周期𝑇=______．【答案】𝜋【解析】解：𝑓(𝑥)=sin2𝑥=12(1−cos2𝑥)=−12cos2𝑥+12最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋故答案为：𝜋利用二倍角余弦公式，将𝑓(𝑥)化为𝑓(𝑥)=−12cos2𝑥+12，最小正周期易求．本题考查二倍角余弦公式的变形使用，三角函数的性质，是道简单题．14.AD是△𝐴𝐵𝐶的中线，若𝐴(−2,1)、𝐵(−1,3)、𝐶(3,5)，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=______．【答案】(3,3)【解析】解：如图，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(5,4)；∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线；∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=(3,3)．故答案为：(3,3)．可画出图形，根据A，B，C的坐标可求出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(5,4)，而由AD是△𝐴𝐵𝐶的中线即可得出𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)，进行向量坐标的加法和数乘运算即可．考查三角形中线的概念，根据点的坐标求向量坐标的方法，向量坐标的加法和数乘运算．15.角𝛼的终边与单位圆相交于𝑃(−45,35)，则tan(𝛼+𝜋4)=______．【答案】17【解析】解：∵角𝛼的终边与单位圆相交于𝑃(−45,35)，∴tan𝛼=35−45=−34，则tan(𝛼+𝜋4)=tan𝛼+11−tan𝛼=1474=17，故答案为：17．由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan𝛼的值，再利用两角和的正切公式求得tan(𝛼+𝜋4)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．16.若函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎)在区间(−∞,1]上递减，则a的取值范围是______．【答案】[1,2)【解析】解：令𝑢=𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎，则𝑓(𝑢)=lg𝑢，配方得𝑢=𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎=(𝑥−𝑎)2−𝑎2+𝑎+1，故对称轴为𝑥=𝑎如图所示：由图象可知当对称轴𝑎≥1时，𝑢=𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎在区间(−∞,1]上单调递减，又真数𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎0，二次函数𝑢=𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎在(−∞,1]上单调递减，故只需当𝑥=1时，若𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎0，则𝑥∈(−∞,1]时，真数𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎0，代入𝑥=1解得𝑎2，所以a的取值范围是[1,2)故答案为：[1,2)复合函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−2𝑎𝑥+1+𝑎)中，对数函数𝑦=lg𝑥为单调递增，在区间(−∞,1]上