搜索
广东省深圳市宝安区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合𝐴={−2,−1,0，1，2}，𝐵={𝑥|(𝑥−1)(𝑥+2)0}，则𝐴∩𝐵=()A.{−1,0}B.{0,1}C.{−1,0，1}D.{0,1，2}【答案】A【解析】解：𝐵={𝑥|−2𝑥1}，𝐴={−2,−1,0，1，2}；∴𝐴∩𝐵={−1,0}．故选：A．解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.化简cos15∘cos45∘−sin15∘sin45∘的值为()A.−12B.√32C.12D.−√32【答案】C【解析】解：cos15∘cos45∘−sin15∘sin45∘=cos(15∘+45∘)=cos60∘=12．故选：C．直接利用两角和的余弦化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的余弦，是基础题．3.函数𝑓(𝑥)=√2−𝑥+lg𝑥的定义域是()A.{𝑥|0𝑥≤2}B.{𝑥|0𝑥≤1}C.{𝑥|−1𝑥≤2}D.{𝑥|1𝑥≤2}【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则{𝑥02−𝑥≥0，得{𝑥0𝑥≤2，即0𝑥≤2，即函数的定义域为(0,2]故选：A．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=()A.12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】解：因为点E是CD的中点，所以𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，点得F是BC的中点，所以𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故选：D．由题意点E，F分别是DC，BC的中点，求出𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，然后求出向量𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗即得．本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．5.若将函数𝑦=2sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A.𝑥=𝑘𝜋2−𝜋6(𝑘∈𝑍)B.𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)C.𝑥=𝑘𝜋2−𝜋12(𝑘∈𝑍)D.𝑥=𝑘𝜋2+𝜋12(𝑘∈𝑍)【答案】B【解析】解：将函数𝑦=2sin2𝑥的图象向左平移𝜋12个单位长度，得到𝑦=2sin2(𝑥+𝜋12)=2sin(2𝑥+𝜋6)，由2𝑥+𝜋6=𝑘𝜋+𝜋2(𝑘∈𝑍)得：𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，即平移后的图象的对称轴方程为𝑥=𝑘𝜋2+𝜋6(𝑘∈𝑍)，故选：B．利用函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0)的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．6.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎+log2(𝑥2+𝑎)(𝑎0)的最小值为8，则()A.𝑎∈(5,6)B.𝑎∈(7,8)C.𝑎∈(8,9)D.𝑎∈(9,10)【答案】A【解析】解：函数𝑓(𝑥)=𝑎+log2(𝑥2+𝑎)(𝑎0)的最小值为8，可得𝑎+log2𝑎=8，令𝑓(𝑎)=log2𝑎−8+𝑎，函数是增函数，𝑓(5)=log25−30，𝑓(6)=log26−20，所以函数的零点在(5,6)．故选：A．利用复合函数的性质求出函数的最小值时的表达式，然后求解a的范围．本题考查函数的最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．7.已知𝜃为三角形△𝐴𝐵𝐶内角，且sin𝜃+cos𝜃=𝑚，若𝑚∈(0,1)，则关于△𝐴𝐵𝐶的形状的判断，正确的是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.三种形状都有可能【答案】C【解析】解：∵sin𝜃+cos𝜃=𝑚，∴𝑚2=(sin𝜃+cos𝜃)2=1+2sin𝜃cos𝜃∵0𝑚1∴0𝑚21∴02sin𝜃cos𝜃+11，−12sin𝜃cos𝜃0∵𝜃为三角形△𝐴𝐵𝐶内角，∴sin𝜃0，cos𝜃0𝜃为钝角，即三角形△𝐴𝐵𝐶为钝角三角形故选：C．利用同角平方关系可得，𝑚2=1+2sin𝜃cos𝜃，结合𝑚∈(0,1)可得sin𝜃cos𝜃0，从而可得𝜃的取值范围，进而可判断三角形的形状．本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从sin𝜃cos𝜃的符号中判断𝜃的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．8.已知向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,12)，则∠𝐴𝐵𝐶=()A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘【答案】A【解析】解：𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=√34+√34=√32，|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1；∴cos∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√32；又0∘≤∠𝐴𝐵𝐶≤180∘；∴∠𝐴𝐵𝐶=30∘．故选：A．根据向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的坐标便可求出𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，及|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠𝐴𝐵𝐶的值，根据∠𝐴𝐵𝐶的范围便可得出∠𝐴𝐵𝐶的值．考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．9.函数𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)单调递减，且为奇函数.若𝑓(1)=−1，则满足−1≤𝑓(𝑥−2)≤1的x的取值范围是()A.[−2,2]B.[−1,1]C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)为奇函数．若𝑓(1)=−1，则𝑓(−1)=1，又∵函数𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)单调递减，−1≤𝑓(𝑥−2)≤1，∴𝑓(1)≤𝑓(𝑥−2)≤𝑓(−1)，∴−1≤𝑥−2≤1，解得：𝑥∈[1,3]，故选：D．由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤𝑓(𝑥−2)≤1化为−1≤𝑥−2≤1，解得答案．本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．10.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|𝜋)的部分图象如图所示，则函数𝑔(𝑥)=𝐴cos(𝜑𝑥+𝜔)图象的一个对称中心可能为()A.(−52,0)B.(16,0)C.(−12,0)D.(−116,0)【答案】C【解析】解：根据函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|𝜋)的部分图象，可得𝐴=2√3，2𝜋𝜔=2(6+2)，∴𝜔=𝜋8．再根据函数的图象经过点(6,0)，结合图象可得𝜋8⋅6+𝜑=0，∴𝜑=−3𝜋4，∴𝑓(𝑥)=2√3sin(𝜋8𝑥−3𝜋4).则函数𝑔(𝑥)=𝐴cos(𝜑𝑥+𝜔)=2√3cos(−3𝜋4𝑥+𝜋8)=2√3cos(3𝜋4𝑥−𝜋8)图象的一个对称中心可能(−12,0)，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出𝜔，由特殊点的坐标求出𝜑的值，可得𝑔(𝑥)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数𝑔(𝑥)=𝐴cos(𝜑𝑥+𝜔)图象的一个对称中心．本题主要考查由函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出𝜔，由五点法作图求出𝜑的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+14的值域为[0,+∞)，则实数a的取值范围是______．【答案】[0,14]∪[1,+∞)【解析】解：由题意，∵函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+14的值域为[0,+∞)，∴{𝑎0𝑎−(2𝑎−1)24𝑎≤0或𝑎=0当{𝑎0𝑎−(2𝑎−1)24𝑎≤0时，解得0𝑎≤14或𝑎≥1∴实数a的取值范围是[0,14]∪[1,+∞)故答案为：[0,14]∪[1,+∞)．根据函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥2+(2𝑎−1)𝑥+14的值域为[0,+∞)，分类讨论，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．12.设函数𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3𝑥+𝑏的图象关于y轴对称，且其定义域为[𝑎−1,2𝑎](𝑎，𝑏∈𝑅)，则函数𝑓(𝑥)在𝑥∈[𝑎−1,2𝑎]上的值域为______．【答案】[−3,−53]【解析】解：由题意可知𝑎≠0，函数𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3𝑥+𝑏的图象关于y轴对称，对称轴为𝑥=0，可得：𝑏+3−2×1𝑎=0，即𝑏=−3，即函数解析式函数𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3𝑥+𝑏化简成𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2−3．由定义域[𝑎−1,2𝑎]关于y轴对称，故有𝑎−1+2𝑎=0，得出𝑎=13，即函数解析式化简成𝑓(𝑥)=3𝑥2−3，𝑥∈[−23,23]𝑓(𝑥)的值域为[−3,−53].故答案为：[−3,−53].由题意可知𝑎≠0，图象关于y轴对称可判断出𝑏=−3，即函数解析式化简成𝑓(𝑥)=1𝑎𝑥2−3，由定义域[𝑎−1,2𝑎]关于y轴对称，得出a的值，求𝑓(𝑥)的值域．此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．13.已知函数𝑓(𝑥)={log3(𝑥+1),𝑥≥222−𝑥,𝑥2，若关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑚有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：由题意作出函数𝑓(𝑥)={log3(𝑥+1),𝑥≥222−𝑥,𝑥2的图象，关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑚有两个不同的实根等价于函数𝑓(𝑥)={log3(𝑥+1),𝑥≥222−𝑥,𝑥2与𝑦=𝑚有两个不同的公共点，由图象可知当𝑘∈(1,+∞)时，满足题意，故答案为：(1,+∞)．由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．14.已知函数𝑓(𝑥)=|log2𝑥|，正实数m，n满足𝑚𝑛，且𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)，若𝑓(𝑥)在区间[𝑚2,𝑛]上的最大值为2，则𝑛+𝑚=______．【答案】52【解析】解：∵𝑓(𝑥)=|log2𝑥|，且𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)，∴𝑚𝑛=1∵若𝑓(𝑥)在区间[𝑚2,𝑛]上的最大值为2∴|log2𝑚2|=2∵𝑚𝑛，∴𝑚=12∴𝑛=2∴𝑛+𝑚=52故答案为：52先结合函数𝑓(𝑥)=|log2𝑥|的图象和性质，再由𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)，得到m，n的倒数关系，再由“若𝑓(𝑥)在区间[𝑚2,𝑛]上的最大值为2”，求得𝑚.𝑛的值得到结果．本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后