广东省广州市2014届普通高中毕业班3月综合测试一理科数学

中国权威高考信息资源门户年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）第21题另解广东省惠东高级中学陈必禄([e-mail])21．（本小题满分14分）已知函数221exfxxx（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数()fx的单调区间；（2）定义：若函数hx在区间,stst上的取值范围为,st，则称区间,st为函数hx的“域同区间”．试问函数()fx在1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．解：（1）因为221exfxxx，（苏元高考吧：）所以2()(22)e(21)exxfxxxx21exx(1)(1)exxx．------------------1分当1x或1x时，0fx，即函数()fx的单调递增区间为,1和1,．当11x时，0fx，即函数()fx的单调递减区间为1,1．所以函数()fx的单调递增区间为,1和1,，单调递减区间为1,1．-----------3分（2）(官方答案)解法1：假设函数()fx在1,上存在“域同区间”[,](1)stst，----------4分由（1）知函数()fx在1,上是增函数，所以(),().fssftt即22(1)e,(1)e.stsstt-----------------------------------5分也就是方程2(1)exxx有两个大于1的相异实根．-----------------------------------6分中国权威高考信息资源门户()(1)e(1)xgxxxx，则2()(1)e1xgxx．-----------------------------------7分设hx2()(1)e1xgxx，则221exhxxx．-----------------------------------8分因为在(1,)上有0hx，所以hx在1,上单调递增．------------------------------9分因为110h，223e10h，即存在唯一的01,2x，使得00hx．-----------------------------------10分当01,xx时，0hxgx，即函数()gx在01,x上是减函数；当0,xx时，0hxgx，即函数()gx在0,x上是增函数．-------------11分因为110g，0()(1)0gxg，2(2)e20g，所以函数()gx在区间1,上只有一个零点．-----------------------------------12分这与方程2(1)exxx有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．----------------13分所以函数()fx在1,上不存在“域同区间”．-----------------------------------14分（2）假设函数()fx在1,上存在“域同区间”[,](1)stst，----------------4分由（1）知函数()fx在1,上是增函数，所以(),().fssftt即22(21)e,(21)e.stsssttt-----------------------------------5分也就是方程2(2+1exxxx）有两个大于1的相异实中国权威高考信息资源门户根．-----------------------------------6分（本人提供）解法2：由2(2+1exxxx）得2211,20xxxxexexx即有两个大于1的相异实根1()2(1)xgxxexx设，21()1(1)xgxexx则由于1x，故()0gx，()(1+)gx在，上为增函数，方程120xxex在(1+)，至多有一个实数根，()gx在区间1,上至多有一个零点．这与方程120xxex有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()fx在1,上不存在“域同区间”．中国权威高考信息资源门户（2）假设函数()fx在1,上存在“域同区间”[,](1)stst，----------4分由（1）知函数()fx在1,上是增函数，所以(),().fssftt即22(1)e,(1)e.stsstt（本人提供）解法3：变形得22e(1)(1)e(2)(1)stsstt，22(2)(1)e(1)(1)ststst22(s-t)(st-1)得e-(s-1)(t-1)由于1,e0sstt故e-，022(s-t)(st-1)s-t0,st-10,故(s-1)(t-1)从而产生矛盾。所以假设不成立．所以函数()fx在1,上不存在“域同区间”．（解法2，3为本人一点点教学想法，仅供大家借鉴，谢谢）更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查看更多高考相关试题【下载】