广东省惠州市2013届高三调研考试数学理试题答案

惠州市2013届高三第三次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案DBCACABB1．【解析】313i13ii=3+ii．故选D．2．【解析】26304(23)(46)(23)13xxpq，，，．故选B．3．【解析】01a或或1．故选D．4．【解析】由设()fxx，图象过点12()22，得121211()()2222，12441log(2)log24f．故选A．5．【解析】22221111xymxnymn，1100mnmn，即pq．故选C．6．【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A．7．【解析】最优解为min(2.52.5)15z，．故选B．8．【解析】2(1)(21)(21)nnnaann，取19n，5，及2610n，，，结果相加可得121234111278Saaaaaa．故选B．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．710．311．2219xy12．④13．12，14．715．39．【解析】1212721712nnnSn．答案：7．10．【解析】511614921483nknknknk，，，，．答案：3．11．【解析】抛线线2410yx的焦点22(10)10ab，0．1010313eaba．答案：2219xy．12．【解析】mn，均为直线，其中mn，平行，mn，可以相交也可以异面，故①不正确；m，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确．答案④．13．【解析】2112022aa，xaa是增函数，所以1a12a．答案：12a．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．【解析】∵PA切O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴60AOB，∴120POD，在△POD中由余弦定理，得：2222cosPDPODOPODOPOD=1414()72．解析2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵120POD，∴60DOB，可得12OE，32DE，在RtPED中，∴22253744PDPEDE．答案：7．15．【解析】A、B的极坐标分别为(3)3，，(4)6，，则12ABCSOAOBsinAOB134326sin（其中O为极点）．答案3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵()sinfxx，……………………………………2分∴函数fx的最小正周期为2．……………………………………3分∵函数2sin244yfxx，……………………………………5分又sinyx的图像的对称轴为2xk（kZ），………………………………6分令242xk，将6x代入，得12k（kZ）．∵0，∴1112．……………………………………7分（2）解：222112()sin()sin()(sincos)3431242f，…9分113sincos1sin2sin2244………12分17．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.020.0250.01)1a．…………………………1分解得0.03a．………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)0.85．……3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544人．………………………………………5分（3）解：成绩在4050，分数段内的人数为400.052人，………………6分成绩在90,100分数段内的人数为400.14人，……………………………………7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有2615C…………………9分如果两名学生的数学成绩都在4050，分数段内或都在90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在4050，分数段内，另一个成绩在90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．…………………10分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为22247CC……11分所以所求概率为715PM．……………………………………………………………………13分18．（本小题满分14分）（1）证明：如图，连接1DB，依题意有：在长方形11AADD中，11ADAA，1111111111111AADDADADADADBABAADDABADADDEDEADBADABA四边形平面又平面平面．………4分（2）解：225ACABBC，/21AEAB，222ECBEBC，1252cos2212AEC，2sin2AEC．∴12112222AECS，……………6分11111326DAECV．22112ADAADA，2211115DCDCCC，1153102sin105DAC．∴113103252102ADCS．设点E到平面1ACD的距离为d，∴11131326DAECEADCVVd13d．∴点E到平面1ACD的距离为13．…………………………………………………8分（3）解：过D作DFEC交EC于F，连接1DF．由三垂线定理可知，1DFD为二面角1DECD的平面角．∴14DFD，12DDF，111DDDF．………………………10分1sin26DFDCFDCFDC，∴3BCF．……………………12分∴tan33BEBEBC，23AEABBE．EDCABA1B1C1D1F045故23AE时，二面角1DECD的平面角为4．……………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）113faQ，13xfx1113afcc，221afcfc29，323227afcfc.又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；又公比2113aqa，所以12112333nnna*nN；……………………2分1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ2n又0nb，0nS，11nnSS；数列nS构成一个首相为1公差为1的等差数列，111nSnn，2nSn当2n，221121nnnbSSnnn；又其满足11bc，21nbn(*nN)；………………………………5分（2）11(21)33nnnncbn，所以123nnRccccL12331111135(21)3333nRnL①2341111111135(23)(21)333333nnnRnnL②①式减②式得：234121111112(21)3333333nnnRnL……7分化简：2111113321122(1)12(21)133333313nnnnnRn……9分所以所求113nnnR…………………………………………10分（3）12233411111nnnTbbbbbbbbL1111133557(21)21nnK1111111111112323525722121nnK……12分11122121nnn；……13分u.c.o.m由1000212009nnTn得10009n，满足10002009nT的最小正整数为112.…………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，22(0)2aAa，，2120Fa，，………………………………1分由112OFAF0，得22222222aaaa，…………………………3分解得62a．所以椭圆M的方程为126:22yxM．…………………………………………………………4分（2）方法1：设圆12:22yxN的圆心为N，则NPNFNPNEPFPE………………………………………………6分NFNPNFNP…………………………………………7分2221NPNFNP．………………………………………………………………8分从而求PFPE的最大值转化为求2NP的最大值．……………………………………9分因为P是椭圆M上的任意一点，设00Pxy，，………………………………………10分所以1262020yx，即202036yx．………………………………………………11分因为点2,0N，所以121222020202yyxNP．…………………12分因为022y，，所以当10y时，2NP取得最大值12．…………………13分所以PFPE的最大值为11．…………………………………………………………14分方法2：设点112200()(),()ExyFxyPxy，，，，，因为,EF的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.xxyy………………………………………6分所以10201020()()()()PEPFxxxxyyyy…………………………………7分10101010()()()(4)xxxxyyyy222201011044xxyyyy22220001114(4)xyyxyy．………………………………………9分因为点E在圆N上，所以2211(2)1xy，即2211143xyy．………………10分因为点P在椭圆M上，所以2200162xy，即220063xy．…………………………11分所以PEPF200249yy202(1)11y．……………………………………12分因为0[22]y，，所以当01y时，min11PEPF．………………………14分方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为2ykx，………………………6分由1)2(222yxkxy，解得112kx．……………………………………………7分因为P是椭圆M上的任一点，设点00Pxy，，所以1262020yx，即202036yx．……………………………………………8分所以00221,2