广东省湛江一中20112012学年高二数学上学期期末考试理新人教A版高中数学练习试题

-1-广东省湛江一中2011-2012学年高二上学期期末考试（数学理）考试时间：120分钟满分：150分一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若3ab，则12ab或”的逆否命题为（）A.若3ab，则12ab且B.若12ab或，则3abC.若12ab或，则3abD.若12ab且，则3ab2.抛物线y=42x的焦点坐标是（）A.（1,0）B.(0,1)C.(0,161)D.()0,1613.已知)5,2,3(a，)1,,1(xb，2ba，则x的值为（）A.3B.4C.5D.64.“13m”是方程11222mymx表示双曲线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.以下四个命题中正确的是()A．若1123OPOAOB,则P、A、B三点共线;B．若{,,}abc为空间的一个基底，则{,,}abbcca构成空间的另一个基底;C．|()|||||||abcabc;D．ABC为直角三角形的充要条件是0ABAC．6.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，M和N分别为11BA和1BB的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．1010B．52C．53D．527.设双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线与抛物线12xy有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.,5B.,5C.,25D.,458.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（）A.1151622yxB.1242522yx-2-C.11522yxD.122yx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.抛物线xy82上与焦点的距离等于6的点的坐标是.10.已知向量),215,,3(),5,3,2(ba且a∥b，则=.11.点)1,4(P平分双曲线4422yx的一条弦，则这条弦所在的直线方程是12.过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________13.已知a(3cos,3sin,1)，(2cos,2sin,1)b，则ba的取值范围是.14.给出下列命题：①椭圆12322yx的离心率35e，长轴长为32；②抛物线22yx的准线方程为;81x③双曲线1254922xy的渐近线方程为xy75；④方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.其中所有正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。15.(本小题满分12分）在平行六面体1111DCBAABCD中，N是1AD的中点，MBAM2.(1)化简：12121AAADBN;(2)设aAB，bAD，cAA1，若czbyaxMN,求zyx.-3-16.(本小题满分12分）如图，设圆C：1)1(22yx，过原点O作圆的任意弦OM，求所作弦OM的中点P的轨迹方程.17．（本小题满分14分）如图，正方体1111DCBAABCD的棱长为a，E为1DD的中点.（1）求证：1BD//平面EAC；（2）求点1D到平面EAC的距离．18．(本小题满分14分）设椭圆方程125222byx（05b），F为椭圆右焦点，P为椭圆在短轴上的一个顶点，POF的面积为6,（O为坐标原点）；（1）求椭圆方程；（2）在椭圆上是否存在一点Q，使QF的中垂线过点O？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.-4-19.（本题满分14分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，1PAAB，PD与平面ABCD所成角是30，点F是PB的中点，点E在矩形ABCD的边BC上移动．（1）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF；（2）当CE等于何值时，二面角PDEA的大小为45．20．（本题满分14分）已知椭圆12822yx经过点)1,2(M，O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m)0(m.（1）当3m时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；（2）当3m时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.-5-湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试高二级（理科）数学科试卷（参考）答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678DCCBBDAD二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。）9．)24,4(或)24,4(10.2911.03yx12.3513.5,114.②④三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16.(本小题满分12分）解：设),(yxP，--------------------------------------------------------------------------------2分∵点P是弦OM的中点，∴)2,2(yxM---------------------------------------------------4分∵点M在圆C：1)1(22yx上，∴1)2()12(22yx，----------------------------------------------------------------------8分即41)21(22yx，----------------------------------------------------------------------10分由圆的范围知，10x.故点M的轨迹方程为41)21(22yx（10x）.-6--------------------------------12分（此题其它解法可酌情给分）17．(本小题满分14分）解法一：（1）证明：连接BD交AC于F，连EF.-------------------------------------2分因为F为正方形ABCD对角线的交点，（2）解：设1D到平面EAC的距离为d.在EAC中，ACEF，且aAC2，aEF23，所以24621aACEFSEAC，----------------------------------------------------9分于是dadSVEACEACD2126311.----------------------------------------------------10分因为31212121313111aaaaSADVCEDCEDA.--------------------------12分又CEDAEACDVV11，即32121126ada，--------------------------------------------13分解得ad66，故点1D到平面EAC的距离为a66.-7-----------------------------------------------------14分即0202zaayzaax，令2z，则1yx∴)2,1,1(n-----------------------------4分∵0)2,1,1(),,(1aaanBD，∴nBD1，------------------------6分又∵1BD平面EAC，所以1BD//平面EAC.----------------------------7分（2）)2,0,0(1aED，---------------------------------------------------------------9分)2,1,1(n是平面EAC的一个法向量.∴点1D到平面EAC的距离anEDnd661.--------------------------------------14分18.(本小题满分14分）解：（1）设)0,(cF∵P为椭圆在短轴上的一个顶点，且POF的面积为6,∴621bc.-----------------------------------------------------------1分又∵2522cb-8-----------------------------------------------------------2分∴43cb或34cb---------------------------------------------------------4分∴椭圆方程为192522yx或1162522yx---------------------------------------6分（2）假设存在点Q，使QF的中垂线过点O.若椭圆方程为1162522yx，则)0,3(F，由题意，3OFOQ∴Q点的轨迹是以O为圆心，以3为半径的圆.设),(yxQ，则其轨迹方程为922yx-------------------------------------------8分显然与椭圆1162522yx无交点.即假设不成立，点Q不存在.-----------------------------------------------9分若椭圆方程为192522yx，则)0,4(F，4OFOQ∴Q点的轨迹是以O为圆心，以4为半径的圆.则其轨迹方程为1622yx-----------------------------------------11分则1925162222yxyx，∴475x，49y--------------------------------------------13分故满足题意的Q点坐标分别为)49,475(，)49,475(，)49,475(，)49,475(-9-----------------------------------------------------------14分（2）过A作AGDE于G，连PG，又∵PADE，则DE平面PAG,则PGA是二面角PDEA的平面角，∴45PGA--------------------------------------------------------------------------9分∵PD与平面ABCD所成角是30，∴30PDA，--------------------------------10分∴3AD，1PAAB.∴1AG，2DG，--------------------------11分设BEx，则GEx，3CEx，在RtDCE中，222231xx，得32BEx.故2CE。------------------14分法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,1P，∵PD与平面ABCD所成角是30，∴30PDA，∴3AD，0,1,0B，110,,22F，3,0,0D.--------------------------------3分PAFBEDCxyz-10-设BEx，则,1,0Ex0)21,21,0()1,1,(xAFPEAFPE.--------------------------------6分而平面ADE的法向量为)1,0