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2018-2019学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）A.y2=-4xB.y2=4xC.x2=-4yD.x2=4y【答案】B【解析】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2．∴抛物的标准方程是y2=4x．故选：B．由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．2.若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是（）A.a+x＞b+yB.a-x＞b-yC.ax＞byD.【答案】A【解析】解：∵a＞b，x＞y，根据不等式同向相加性质可得a+x＞b+y，故选：A．根据不等式的同向相加性质可知选A．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3.等差数列{an}中，a2=6，a4=8，则a6=（）A.4B.7C.10D.14【答案】C【解析】解：∵等差数列{an}中，a2=6，a4=8，∴，解得a1=5，d=1，∴a6=a1+5d=5+5=10．故选：C．利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出第6项．本题考查等差数列的第6项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2-c2=bc，则A=（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】解：a2-c2=b2+bc，可化为b2+c2-a2=-bc，两边同除以2bc，得，由余弦定理，得cosA=-，∴A=120°，故选：C．原式可变形为，由余弦定理可得cosA，由此可求A．该题考查余弦定理及其应用，对余弦定理的内容要熟练，会“正用、逆用、变形用”．5.已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A.∀x∈R，x2+2x+3≠0B.∀x∈R，x2+2x+3=0C.∃x∈R，x2+2x+3≠0D.∃x∈R，x2+2x+3=0【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．6.设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y的最大值为：3．故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．7.设x∈R，则“x＜3”是“-1＜x＜3”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当x=-2满足x＜3，但“-1＜x＜3”不成立，即充分性不成立，当“-1＜x＜3”时，x＜3成立，即“x＜3”是“-1＜x＜3”的必要不充分条件，故选：C．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．8.如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A.x+2y-3=0B.2x-y-3=0C.2x+y-3=0D.x+2y+3=0【答案】A【解析】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=-，∴直线EF的斜率k==-，∴直线EF的方程为：y-1=-（x-1），整理得：2y+x-3=0，故选：A．由题意可知：将E，F代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得直线EF的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．9.已知命题p：∀x∈R，2mx2+mx-＜0，命题q：2m+1＞1．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则实数m的取值范围是（）A.（-3，-1）∪[0，+∞）B.（-3，-1]∪[0，+∞）C.（-3，-1）∪（0，+∞）D.（-3，-1]∪（0，+∞）【答案】D【解析】解：当m=0时，2mx2+mx-＜0等价为-＜0，则不等式恒成立，当m≠0时，要使2mx2+mx-＜0恒成立，则，即，得-3＜m＜0，综上-3＜m≤0，即p：-3＜m≤0，由2m+1＞1得m+1＞0，得m＞-1，即q：m＞-1若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假，则，得-3＜m≤-1，若p假q真，则，即m＞0，综上-3＜m≤-1或m＞0，即实数m的取值范围是（-3，-1]∪（0，+∞），故选：D．根据不等式的解法分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．注意要对p，q的真假进行分类讨论．10.在数列{an}中，a1=2，an=an-1+ln（1+）（n≥2）则{an}=（）A.2+nlnnB.2+（n-1）lnnC.2+lnnD.1+n+lnn【答案】C【解析】解：∵=，（n≥2）∴an=an-1+lnn-ln（n-1），（n≥2）∴an-lnn=an-1-ln（n-1），（n≥2）∴{an-lnn}是常数数列，∴an-lnn=a1-ln1=2，∴an=2+lnn．故选：C．根据条件，，即an-lnn=an-1-ln（n-1），故{an-lnn}是常数数列，所以an-lnn=a1-ln1=2，即an=2+lnn．本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．11.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右项点为A，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M，若（+）=0，则C的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】解：过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，则该平行线的方程为：y=联立，可得M（，-）∵（+）=0，则OM=OA=a，∴⇒b2=3a2，则C的离心率为．故选：C．可得M（，-），由（+）=0，可得OM=OA=a，⇒b2=3a2，可得离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，b＞c，则=（）A.B.2C.3D.【答案】B【解析】解：根据题意，△ABC中，，则有a×-c-=0，变形可得：a2-b2-c2-bc=0，又由a2=，则有2b2+2c2-5bc=0，即可得：（）2-×（）+1=0，解可得：=2或=，又由b＞c，则=2；故选：B．根据题意，由余弦定理，分析可得⇒a×-c-=0，变形可得：a2-b2-c2-bc=0，又由a2=，进而可得（）2-×（）+1=0，结合b＞c，解可得的值，即可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是运用余弦定理变形．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数，x＞0的最小值是______．【答案】2【解析】解：∵，当且仅当x=1取等号．故函数，x＞0的最小值是2．故答案为：2．注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．本题考查函数的最值，解题时要注意基本不等式的应用．14.正项等比数列{an}，若3a1，，2a2成等差数列，则{an}的公比q=______．【答案】3【解析】解：∵正项等比数列{an}，3a1，，2a2成等差数列，∴，解得q=3．∴{an}的公比q=3．故答案为：3．利用等比数列的通项公式、等差数列的性质列出方程，由此能求出{an}的公比．本题考查公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．【答案】20【解析】解：由题意可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，在△SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=10，∴货轮的速度为=20海里/时．故答案为：20．根据正弦定理求出MN，再得出货轮的速度．本题考查了解三角形的应用，正弦定理，属于基础题．16.已知点A（0，-1），B（0，1），以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径作圆Γ，圆Γ在B处的切线为直线l，过点A作圆Γ的一条切线与l交于点M，则|MA|+|MB|=______．【答案】4【解析】解：设过点A作圆Γ的一条切线与圆相切于C点，∵M是两条切线的交点，∴MB=MC，即|MA|+|MB|=|MA|+|MC|=|AC|=，∵圆Γ是以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径∴半径|PC|=|PB|=，|PA|=，则|AC|====4，则|MA|+|MB|=4，故答案为：4根据条件作出图象，结合两条切线交点的性质，转化为|MA|+|MB|=|AC|，利用勾股定理进行求解即可．本题主要考查直线和圆相切的性质的应用，利用数形结合转化为直角三角形，利用勾股定理是解决本题的关键．考查学生的转化能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a5=3，S3=．（1）求{an}的通项公式；（2）若Sm=27，求m．【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得a1=1，d=，∴=（n+1）．（2）由（1）得Sm===27，整理，得m2+3m-108=0，由m∈N*，解得m=9．【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a1=1，d=，由此能求出{an}的通项公式．（2）求出Sm==27，由此能求出m．本题考查等差数列的通项公式、实数值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面积．【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵BC=7，AB=3，∠A=60°．∴由正弦定理可得：sinC===，…3分∵BC＞AB，∴C为锐角，…4分∴cosC===，…6分（2）∵A+B+C=π，A=60°，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=，…9分∴S△ABC=BC•AB•sinB==6．…12分【解析】（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点．（1）若1过F且斜率为1，求|AB|；（2）若不过坐标原点O，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），直线l过点F且斜率为1，则l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得x2-6x+1=0，又△=（-6）2-4×1×1=32＞0，且x1+x2=6，∴|AB|=x1+x2+2=8；（2）直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x，得y2-4my-4a=0，则y1y2=-4a；又x1=，x2=，∴x1x2===a2，又∵OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=0，即a2-4a=0，又∵