搜索
广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={−1,0，1}，𝐵={𝑥||𝑥|1}，则𝐴∪𝐵=()A.{−1,1}B.{−1,0，1}C.{𝑥|−1≤𝑥≤1}D.{𝑥|𝑥≤1}【答案】C【解析】解：𝐵={𝑥|−1𝑥1}；∴𝐴∪𝐵={𝑥|−1≤𝑥≤1}．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=𝑛2+𝑛+1，则𝑎3=()A.4B.9C.12D.13【答案】D【解析】解：数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=𝑛2+𝑛+1，则𝑎3=32+3+1=13．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)中，𝑎2=10，𝑐=2，则该椭圆标准方程为()A.𝑥210+𝑦26=1B.𝑥210+𝑦22=1C.𝑥210+𝑦24=1D.𝑥26+𝑦24=1【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)，其焦点在x轴上，若𝑎2=10，𝑐=2，则𝑏2=𝑎2−𝑐2=10−4=6，则椭圆的方程为𝑥210+𝑦26=1；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，𝑏⃗=(2,1,−3)，则|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=()A.√7B.2√2C.3D.√10【答案】D【解析】解：∵向量𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，𝑏⃗=(2,1,−3)，∴𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(3,0，−1)，∴|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=√32+02+(−1)2=√10．故选：D．利用向量坐标运算法则求解𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(3,0，−1)，由此能求出|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，𝑏∈𝑅，则“𝑎𝑏”是“𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若𝑎𝑏，①𝑎𝑏≥0，不等式𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|等价为𝑎⋅𝑎𝑏⋅𝑏，此时成立．②0𝑎𝑏，不等式𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|等价为−𝑎⋅𝑎−𝑏⋅𝑏，即𝑎2𝑏2，此时成立．③𝑎≥0𝑏，不等式𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|等价为𝑎⋅𝑎−𝑏⋅𝑏，即𝑎2−𝑏2，此时成立，即充分性成立．若𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|，①当𝑎0，𝑏0时，𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|去掉绝对值得，(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)0，因为𝑎+𝑏0，所以𝑎−𝑏0，即𝑎𝑏．②当𝑎0，𝑏0时，𝑎𝑏．③当𝑎0，𝑏0时，𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|去掉绝对值得，(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)0，因为𝑎+𝑏0，所以𝑎−𝑏0，即𝑎𝑏.即必要性成立，综上“𝑎𝑏”是“𝑎|𝑎|𝑏|𝑏|”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足{𝑦≥2𝑥𝑥+𝑦≥3𝑦≤3，则𝑥−𝑦的最小值为()A.−5B.−3C.−2D.−1【答案】B【解析】解：x，y满足{𝑦≥2𝑥𝑥+𝑦≥3𝑦≤3的区域如图：设𝑧=𝑥−𝑦，则𝑦=𝑥−𝑧，当此直线经过𝐴(0,3)时z最小，所以z的最小值为0−3=−3；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线𝑦2=4𝑥上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由于抛物线𝑦2=4𝑥上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线𝑦2=4𝑥的准线为𝑥=−1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2−(−1)=3，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线𝑥=−1的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，则𝑆2019=()A.−2017B.2017C.2018D.2019【答案】D【解析】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，∵𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，∴6𝑎1+6×52⋅𝑑−6𝑎1−2×3×22⋅𝑑=18，化为：9𝑑=18，解得𝑑=2．则𝑆2019=2019×(−2017)+2019×20182×2=2019．故选：D．设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，根据𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是()A.𝑎⃗⃗=(1,−2,3)，𝑏⃗=(1,2，1)B.𝑎⃗⃗=(0,−3,3)，𝑏⃗=(0,1，−1)C.𝑎⃗⃗=(0,−3,2)，𝑏⃗=(0,1，−32)D.𝑎⃗⃗=(1,−12,3)，𝑏⃗=(2,−1,32)【答案】B【解析】解：在A中，𝑎⃗⃗=(1,−2,3)，𝑏⃗=(1,2，1)，11≠−22≠13，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，𝑎⃗⃗=(0,−3,3)，𝑏⃗=(0,1，−1)，𝑎⃗⃗=3𝑏⃗，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，𝑎⃗⃗=(0,−3,2)，𝑏⃗=(0,1，−32)，1−3≠−322，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，𝑎⃗⃗=(1,−12,3)，𝑏⃗=(2,−1,32)，21=−1−12≠323，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知𝑏cos𝐴=(2𝑐−𝑎)cos𝐵，𝑐=2，𝑎=1，则△𝐴𝐵𝐶的面积是()A.12B.√32C.1D.√3【答案】B【解析】解：△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知𝑏cos𝐴=(2𝑐−𝑎)cos𝐵，利用正弦定理得：sin𝐵cos𝐴=2sin𝐶cos𝐵−sin𝐴cos𝐵，整理得：sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶=2sin𝐶cos𝐵，由于：sin𝐶≠0，所以：cos𝐵=12，由于：0𝐵𝜋，则：𝐵=𝜋3．由于：𝑐=2，𝑎=1，则：𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12⋅2⋅1⋅√32=√32．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设𝐹1，𝐹2是双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0.𝑏0)的左，右焦点，O是坐标原点.过𝐹2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|𝑃𝐹1|=√6|𝑂𝑃|，则C的离心率为()A.√5B.2C.√3D.√2【答案】C【解析】解：双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0.𝑏0)的一条渐近线方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，∴点𝐹2到渐近线的距离𝑑=𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=𝑏，即|𝑃𝐹2|=𝑏，∴|𝑂𝑃|=√|𝑂𝐹2|2−|𝑃𝐹2|2=√𝑐2−𝑏2=𝑎，cos∠𝑃𝐹2𝑂=𝑏𝑐，∵|𝑃𝐹1|=√6|𝑂𝑃|，∴|𝑃𝐹1|=√6𝑎，在三角形𝐹1𝑃𝐹2中，由余弦定理可得|𝑃𝐹1|2=|𝑃𝐹2|2+|𝐹1𝐹2|2−2|𝑃𝐹2|⋅|𝐹1𝐹2|𝐶𝑂𝑆∠𝑃𝐹2𝑂，∴6𝑎2=𝑏2+4𝑐2−2×𝑏×2𝑐×𝑏𝑐=4𝑐2−3𝑏2=4𝑐2−3(𝑐2−𝑎2)，即3𝑎2=𝑐2，即√3𝑎=𝑐，∴𝑒=𝑐𝑎=√3，故选：C．先根据点到直线的距离求出|𝑃𝐹2|=𝑏，再求出|𝑂𝑃|=𝑎，在三角形𝐹1𝑃𝐹2中，由余弦定理可得|𝑃𝐹1|2=|𝑃𝐹2|2+|𝐹1𝐹2|2−2|𝑃𝐹2|⋅|𝐹1𝐹2|cos∠𝑃𝐹2𝑂，代值化简整理可得√3𝑎=𝑐，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为()A.√134B.2√1313C.√73D.√33【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，𝐴𝐴1分别为x，y，z轴，由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，可得𝑃(14,13,12)，𝐴(0,0，0)，𝐵(0,1，0)，则𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(14,13,12)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0，0)，设平面PAB的法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，由𝑚⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0，且𝑚⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0，可得14𝑥+13𝑦+12𝑧=0，且𝑥=0，可取𝑚⃗⃗⃗=(0,−3,2)，而平面ABCD的法向量为𝑛⃗⃗=(0,0，1)，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=21⋅√13=2√1313．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，𝐴𝐴1分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为𝑛⃗⃗=(0,0，1)，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，则𝑎7=______．【答案】127【解析】解：∵等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，∴27𝑞3=27⋅𝑞2×27⋅𝑞4，解得𝑞3=127，∴𝑎7=27𝑞6=127．故答案为：127．由等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，得到𝑞3=127，由此能求出𝑎7．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知𝑥0，𝑦0，𝑥+2𝑦=1，则2𝑥+1𝑦的最小值为______．【答案】8【解析】解：∵2𝑥+1𝑦=(𝑥+2𝑦)(2𝑥+1𝑦)=4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦≥4+2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦=8(当且仅当𝑥=12，𝑦=14时取等)故答案为：8先变形：2𝑥+1𝑦=(𝑥+2𝑦)(2𝑥+1𝑦)=4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦，然后根据基本不等式可求得